Definicja Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Układ równań liniowych – układ równań postaci:

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&a_{13}x_3&+&\cdots&+&a_{1n}x_n& = b_1\\ a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&a_{23}x_3&+&\cdots&+&a_{2n}x_n& = b_2\\ a_{31}x_1&+&a_{32}x_2&+&a_{33}x_3&+&\cdots&+&a_{3n}x_n& = b_3\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&a_{m3}x_3&+&\cdots&+&a_{mn}x_n& = b_m \end{matrix}\right.$

gdzie a_{i, j} są elementami danego ciała K, a x_i niewiadomymiNiewiadoma – symbol w równaniu lub nierówności, użyty na oznaczenie obiektu (np. liczby, wektora, funkcji), który musi zostać wyliczony tak, aby dane równanie bądź nierówność było spełnione....
[click for more].

Spis treści

1 Pojęcia
2 Układ jednorodny
3 Układ kwadratowy
- 3.1 Rozstrzyganie rozwiązalności układu kwadratowego metodą wyznaczników

Pojęcia

Układ powyższy nazywamy układem m równań liniowych o n niewiadomych. skalary a_ij nazywamy współczynnikami układu, skalary b_i to wyrazy wolne. Rozwiązaniem układu nazywamy dowolną n-kę (r₁, r₂, ..., r_n) elementów ciała K, które po podstawieniu w miejsce x_i do powyższych równań dają równości prawdziwe.

Przykład

Oto przykład układu dwóch równań z trzema niewiadomymi:

$\left\{\begin{matrix} 2x&+&3y&+&z&=&2\\ ~&~&y&-&2z&=&-4\\ \end{matrix}\right.$

Jest tu: a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₁₃ = 1, a₂₁ = 0, a₂₂ = 1, a₂₃ = -2. Wyrazami wolnymi są liczby 2 i -4. Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań, jednym z nich jest liczba trójka: x = 0, y = 0, z = 2.

Macierz główna układu

Z danym układem równań związane są dwie ważne macierze. Jedną z nich jest macierz główna układu równań, czyli po prostu macierz współczynników:

$A=\left[\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn}\\ \end{matrix}\right]$

Macierz rozszerzona układu

Macierz rozszerzona powstaje z macierzy głównej przez dołącznienie do niej kolumny wyrazów wolnych, którą często oddziela się pionową linią:

$U=\left[\left.\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn}\\ \end{matrix}\right|\begin{matrix}b_1\\b_2\\b_3\\\vdots\\b_m\end{matrix}\right]$

Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Sprawę rozwiązalności układu równań wyjaśnia podstawowe twierdzenie Kroneckera-Capellego:

Układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej.
Jeżeli rzędy te są równe ilości niewiadomych, to układ ma dokładne jedno rozwiązanie.
Jeżeli rzędy te są równe, ale mniejsze od ilości niewiadomych, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n – r parametrów; gdzie n – liczba niewiadomych, r – rzędy macierzy głównej i uzupełnionej.

Występują problemy z odmianą nazwiska Capelli. Część źródeł podaje wersję twierdzenie Kroneckera-Capelliego, która jednak jest niepoprawna. Nazwiska włoskie kończące się na -li odmienia się pomijając literę i (w przeciwieństwie do np. nazwisk niemieckich).
Więcej: Słownik ortograficzny PWN >> Nazwiska włoskie

W podanym przykładzie mamy:

$\mathrm{rz}\left[\begin{matrix} 2&3&1\\ 0&1&-2\\ \end{matrix}\right]=2\qquad\mathrm{oraz}\qquad\mathrm{rz}\left[\begin{matrix} 2&3&1&2\\ 0&1&-2&-4\\ \end{matrix}\right]=2$

i wiadomo już, że układ ma rozwiązanie.

Układ jednorodny

Jeżeli wszystkie wyrazy wolne są równe 0, to układ równań nazywamy jednorodnym. Układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie. Zbiór rozwiązań układu jednorodnego tworzy przestrzeń liniową nad ciałem K. Jest ona podprzestrzenią liniową przestrzeni K^m, złożonej z wszystkich uporządkowanych układów m skalarów (x₁, x₂, ..., x_m).

Układ kwadratowy

Jeżeli n = m układ równań nazywamy kwadratowym.

Rozstrzyganie rozwiązalności układu kwadratowego metodą wyznaczników

Jeżeli wyznacznikWyznacznik stopnia n macierzy kwadratowej A, oznaczany , to liczba przypisana jej w następujący sposób: Jeśli ...
[click for more] macierzy głównej układu jest różny od zera, to układ jest układem Cramera, czyli ma jednoznaczne rozwiązanie (jest oznaczony). Rozwiązanie to określają wzory Cramera.

Przez A_i oznacza się macierz otrzymaną przez zamianę w macierzy głównej układu i-tej kolumny na kolumnę wyrazów wolnych układu równań:
$A_i=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\ i-1} & b_{1} & a_{1\ i+1} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\ i-1} & b_{2} & a_{2\ i+1} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{n\ i-1} & b_{n} & a_{n\ i+1} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$

Jeżeli wyznacznik macierzy głównej układu jest równy zero, to:

jeżeli wszystkie wyznaczniki macierzy A_i się zerują, to układ jest nieoznaczony, czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań;
jeżeli przynajmniej jeden wyznacznik macierzy A_i się nie zeruje, to układ jest sprzeczny, czyli nie ma rozwiązania.

Zapisując w sposób symboliczny:

$detA\ne0 \iff$	układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie
$detA=0 \land \forall i\in\left\{1,\dots,n\right\}\ detA_i=0\iff$	układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań
$detA=0 \land \exists i\in\left\{1,\dots,n\right\}\ detA_i\ne0\iff$	układ nie posiada rozwiązań

To jest tylko zalążek artykułu. Jeśli możesz, rozbuduj go.

Kategorie stron: Zalążki artykułów - sierpień 2005 | Matematyka