Definicja Twierdzenie Gödla

Istnieją właściwie dwa twierdzenia Gödla. I twierdzenie Gödla to twierdzenie o niezupełności, II twierdzenie Gödla zaś to jego bezpośredni (równoważny) wniosek o nazwie twierdzenie o niedowiedlności spójności.

Kontekst

Twierdzenie Gödla było odpowiedzią na próbę przedstawienia wszystkich aksjomatów i twierdzeń matematycznych Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu, stosowana we wszystkich naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań, które łączy relacja implikacji. Pierwszy zbiór zdań określa ściśle warunki dla których dane twierdzenie jest spełnione i nazywa się założeniem twierdzenia, a drugi zbiór zdań jest sądem właściwym, będącym istotną treścią wypowiadanego twierdzenia i zwany jest tezą twierdzenia....
[click for more] w postaci czysto symbolicznej (syntaktycznej), tzn. bez odwoływania się do ich znaczenia (czyli w oderwaniu od semantykiSemantyka to dyscyplina badająca relacje pomiędzy znakami a przedmiotami, do których się one odnoszą. Semantyka zajmuje się badaniem znaczenia słów, czyli interpretacją znaków oraz interpretacją zdań i wyrażeń języka. Semantyka logiczna (nazywana też czasem teorią modeli) bada języki sztuczne, gdzie badany język nazywany językiem przedmiotowym jest interpretowany za pomocą metajęzyka....
[click for more], porównaj logicyzmLogicyzm to kierunek w filozofii matematyki, zakładajacy, że można oprzeć jej podstawy na bazie rachunku logicznego zdań (porównaj logika). W szczególności sprowadza to matematykę jako naukę do szczególnego rodzaju formalnej teorii logicznej implementującej pewien zestaw aksjomatów i wyprowadzającej z nich wnioski w oparciu o pewien zespół definicji (porównaj: formalizm (matematyka))....
[click for more], formalizm (matematyka)). Próby takiej podjął się np. David Hilbert.

System formalny spójny to taki w którym nie da się udowodnić pewnego zdania i jego zaprzeczenia jednocześnie; inaczej mówiąc w systemie spójnym zaprzeczenie zdania prawdziwego jest zawsze fałszywe.

System formalny zupełny to taki, w którym możliwe jest rozstrzygnięcie o prawdziwości dowolnego prawidłowo zapisanego zdania tego systemu.

Twierdzenie Gödla o niezupełności stwierdza, że dowolny system formalny zawierający w sobie aksjomaty arytmetyki liczb naturalnych, jest albo zupełny albo spójny i nigdy nie posiada obu tych cech jednoczesnie. Innymi słowy albo można orzekać o wszystkich zdaniach takiego systemu czy są prawdziwe czy nie, jednak wówczas istnieje w systemie takie zdanie P ze jest ono prawdziwe i jego zaprzeczenie ~P także jest prawdziwe i tym samym system jest sprzeczny wewnętrznie, albo system może nie być sprzeczny, lecz wówczas istnieją zdania których prawdziwości nie da się dowieść za pomoca aksjomatów i twierdzeń rozwazanego systemu formalnego.

II tw. Gödla o niedowodliwości spójnosci to konsekwencja wcześniejszego twierdzenia Gödla: Głosi ono, nie da się dowieść spójności żadnego systemu formalnego zawierającego arytmetykę liczb naturalnych w ramach samego tego systemu. Aby taki dowód przeprowadzić niezbędny jest system wyższego rzędu, którego spójności w ramach jego samego również nie można dowieść i tak ad. infinituum.

Obydwa twierdzenia Gödla można uogólnić na dowolne systemy formalne zawierające skończoną lub rekurencyjnie przeliczalną liczbę aksjomatów o ile tylko arytmetyka liczb naturalnych wchodzi w ich skład lub zawierają one skończoną liczbę aksjomatów i umożliwiaja przeprowadzenie tzw. arytmetyzacji twierdzeń.

Potoczne rozumienie tw. Gödla prowadzi zwykle do nieprawdziwych wniosków np:

nie wiadomo co jest prawdą,
każdy system rozumowania jest sprzeczny czy niezupełny.

Warto także pamiętać, że dowód tw. I Gödla polega na efektywnym skonstruowaniu zdania prawdziwego którego nie da sie dowieść w arytmetyce liczb naturalnych. Jak więc widać wyraźnie odróżnia się tu prawdziwość od dowiedliwości. W codziennym życiu zwykle nie mamy do czynienia z systemami formalnymi, a co ważniejsze kryteria prawdy nie są oparte wyłącznie na rachunku predykatów i innych formach logicznego rachunku zdań. Ponadto, prace póżniejszych matematyków i logików doprowadziły poprzez zastosowanie tzw. indukcji pozaskończonej, do konstrukcji systemów formalnych, które zawierają arytmetyke liczb naturalnych i są jednocześnie spójne i zupełne.

Istnieją alternatywne formy twierdzeń Gödla posługujące się pojęciami z zakresu tzw. zbiorów rekurencyjnych i inne.

Kategorie stron: Matematyka...
[click for more]