Definicja Twierdzenie Cochrana

Twierdzenie Cochrana jest twierdzeniem matematycznym wykorzystywanym w analizie wariancji.

Załóżmy, że U₁, U₂, ..., U_n są niezależnymi zmiennymi losowymi Zmienna losowa – Zmienna losowa, to funkcja, która zdarzeniom losowym przypisuje liczby. Na przykład, losując z pewnej populacji jednego osobnika przypisujemy mu jego wagę. Definicja Zmienna losowa X to funkcja mierzalna z przestrzeni probabilistycznej Ω do zbioru liczb rzeczywistych. Mierzalność rozumiemy względem σ-ciała zdarzeń w Ω i σ-ciała zbiorów borelowskich w R....
[click for more] o rozkładach normalnych. Rozważmy równość:

$\sum_{i=1}^n U_i^2=Q_1+\cdots + Q_k$

gdzie Q_i są sumami kwadratów kombinacji liniowych zmiennych U. Jeśli

$r_i+\cdots +r_k=n$

gdzie r_i są rangami Q_i, twierdzenie Cochrana mówi, że Q_i są zmiennymi niezależnymi i mają rozkład chi-kwadrat z r_i stopniami swobody.

Twierdzenie Cochrana jest twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Fishera.

Przykład

Jeśli X₁, ..., X_n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym ze średnią μ i odchyleniem standardowym σ, wtedy:

$U_i=\frac{X_i-\mu}{\sigma}$

ma standardowy rozkład normalny dla każdego i.

Możemy zapisać:

$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^{n}(X_i + \overline{X} - \overline{X} - \mu) =$

$= \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2+\sum_{i=1}^{n}(\overline{X}-\mu)^2+2\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})(\overline{X}-\mu).$

Trzeci składnik wynosi zero, ponieważ jest równy ilczynowi stałej przez:

$\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})$

natomiast drugi składnik jest sumą n identycznych stałych.

Uwzględniając powyższe i dzieląc strony równości przez σ² otrzymujemy:

$\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2= \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma}\right)^2 +n\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2 =Q_1+Q_2.$

Ranga Q₂ wynosi 1 (jest to kwadrat tylko jednej kombinacji liniowej zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym). Ranga Q₁ może zostać obliczona jako n − 1. Spełnione są założenia twierdzenia Cochrana.

Twierdzenie Cochrana mówi, że Q₁ i Q₂ są niezależnymi zmiennymi losowymi i mają rozkład Χ² z odpowiednio n − 1 i 1 stopniami swobody.

To pokazuje, że średnia z próby i wariancja z próby są niezależnymi zmiennymi losowymi, a także:

$(\overline{X}-\mu)^2\sim \frac{\sigma^2}{n}\chi^2_1.$

Jako estymatora wariancji σ² używa się często:

$\hat{\sigma^2}=\frac{1}{n}\sum\left(X_i-\overline{X}\right)^2$ .

Twierdzenie Cochrana pokazuje, że:

$\hat{\sigma^2}\sim \frac{\sigma^2}{n}\chi^2_{n-1}$

z czego wynika, że wartością oczekiwaną $\hat{\sigma}^2$ jest $\frac{\sigma^{2}n}{n - 1}$ .

Zobacz też: twierdzenie Fishera, analiza wariancji, przegląd zagadnień z zakresu statystyki

Kategoria: Statystyka...
[click for more]