Definicja Topologia (Szukaj)

1. Topologia to dział matematykiMatematyka była niegdyś rozumiana jako nauka o liczbach (arytmetyka) i figurach (bryłach) geometrycznych (geometria). Do dziś w popularnych encyklopediach określana jest jako nauka o wielkościach, czyli o stosunkach ilościowych i formach przestrzennych. Z biegiem czasu dodano również do obszaru zainteresowań matematyki wszystko, co wiąże się z pojęciem granicy....
[click for more] zajmujący się badaniem własności przestrzeni topologicznych oraz ich przekształceń.

2. Topologia to rodzina wyróżnionych podzbiorów (nazywanych dalej zbiorami otwartymi) danego zbioru X (zwanego dalej przestrzenią), która spełnia następujące warunki:

1. zbiór pusty oraz cała przestrzeń są zbiorami otwartymi
2. przekrój (część wspólna) dwu zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym
3. suma...
   [click for more] dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

Przestrzeń topologiczna to zbiór wraz z wyróżnioną w nim topologią. W ujęciu tym, zbiór otwarty jest pojęciem pierwotnym teorii.

Intuicja

Obiekty, z którymi spotykamy się w rozważaniach topologicznych, są uogólnieniami pojęć znanych z przestrzeni euklidesowych (czyli prostej rzeczywistej, płaszczyzny, przestrzeni trójwymiarowej).

Matematycy zauważyli najpierw, że pojęcie odległości można przenieść na przestrzenie inne niż wymienione powyżej (a więc na przykład na sferę, na zbiór słów oraz bardziej abstrakcyjne przestrzenie). Z drugiej strony, na przestrzeniach euklidesowych można wprowadzić inne definicje odległości (na przykład na płaszczyźnie odległość dwóch punktów zdefiniować można jako sumę ich normalnych, euklidesowych odległości od punktu (0,0) - jest to tak zwana metryka centrum).

Takie rozważania doprowadziły do sformułowania definicji przestrzeni metrycznej, a więc przestrzeni (zbioru) z określoną na niej odległością (metryką). Fakt, że na danym zbiorze mamy możliwość określania odległości, pozwala nam zdefiniować na niej od razu pojęcie granicy ciągu czy funkcji, a więc także przenieść na nią sporą część analizy matematycznejAnaliza matematyczna to zespół teorii obejmujący wiele ważnych działów matematyki. Początkowo analiza matematyczna obejmowała jedynie to, co dzisiaj nazywamy rachunkiem różniczkowym i całkowym. Jej rozwój zainicjowały prace Leibniza i Newtona z początku XVII wieku....
[click for more].

Przestrzeń topologiczna to uogólnienie pojęcia przestrzeni metrycznej. Zauważono, że zamiast przypisywać przestrzeni jakieś pojęcie odległości, równie dobrze można przypisać pewną rodzinę zbiorów (topologię), którą stanowią sumy (również nieskończone) kul otwartych (a więc zbiorów punktów odległych od zadanego punktu (środka) o mniej niż zadana odległość (promień)). Mając daną taką rodzinę odtworzymy, jaka jest w tej przestrzeni definicja odległości i odwrotnie.

Może się to wydawać mało intuicyjne, ale okazało się, że język topologii jest częstokroć bardziej użyteczny niż język odległości. W szczególności okazało się, że istnieją przestrzenie, na których można zdefiniować topologie, które nie stanowią rodzin sum kulek, jakiejkolwiek definicji odległości byśmy nie przyjęli. Oznacza to, że istnieją przestrzenie topologiczne, które nie są metryzowalne.

Najbardziej interesujące są dla matematyków te własności przestrzeni topologicznych, które zachowują się podczas przekształcania ich w sposób wzajemnie jednoznacznyBijekcja (Funkcja wzajemnie jednoznaczna) ze zbioru X na zbiór Y to funkcja, która jest jednocześnie różnowartościowa i na. Innymi słowy bijekcja to funkcja, która tworzy odwzorowanie jeden do jednego pomiędzy obiektami dziedziny i przeciwdziedziny – każdemu obiektowi dziedziny odpowiada dokładnie jeden obiekt przeciwdziedziny (wartość funkcji) a każdemu obiektowi przedciwdziedziny jeden obiekt dziedziny....
[click for more], ciągły oraz otwarty - czyli poprzez homeomorfizmHomeomorfizm to funkcja z jednej przestrzeni topologicznej w drugą mająca następujące własności: wzajemna jednoznaczność ciągłość otwartość. Dwie przestrzenie topologiczne, które są homeomorficzne (to znaczy pomiędzy którymi istnieje homeomorfizm) są w topologii uważane za obiekt jednej klasy (patrz klasa abstrakcji). Topologia bada te własności przestrzeni topologicznych, które zachowują się przy przekształceniach homeomorficznych....
[click for more]. Takimi własnościami są na przykład zwartość, ośrodkowość i spójność, lecz nie zupełność.

Topologia jest abstrakcyjnym działem matematyki. Znajduje zastosowanie w wielu rozważaniach matematycznych, ponieważ topologie (w sensie rodziny zbiorów) możemy określać na dowolnych zbiorach (mogą to być na przykład punkty przestrzeni, funkcje, przestrzenie), w przeciwieństwie do geometriiGeometria to dział matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Geometria powstała w starożytności. W swych początkach była zbiorem przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów materialnych. Pierwsze próby formułowania twierdzeń geometrii pojawiły się w VI wieku p.n.e. w starożytnej Grecji (Tales z Miletu). Kompilacją poznanych do III wieku p.n.e. faktów jest dzieło Euklidesa Elementy (ok. 300 p.n.e.). Obejmuje ono teorię proporcji, arytmet...
[click for more], która operuje jedynie na obiektach z przestrzeni euklidesowych.

Różne definicje przestrzeni topologicznej

Podane wyżej określenie przestrzeni topologicznej nie jest jedyne. Poniższe określenia są mu równoważne.

Określenie rodziny zbiorów domkniętych

Przestrzeń topologiczna to zbiór X wraz z wyróżnioną w nim rodziną podzbiorów (zwanych domkniętymi), która spełnia następujące warunki:

1. zbiór pusty oraz przestrzeń X są zbiorami domkniętymi
2. suma dwóch zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym
3. część wspólna dowolnej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym

Równoważność obu określeń wynika natychmiast z praw de MorganaPrawa de Morgana - twierdzenia w logice matematycznej i teorii mnogości. Od nazwiska Augusta De Morgana, angielskiego matematyka. Logika 1. Negacja alternatywy jest równoważna koniunkcji negacji:...
[click for more] jeśli zdefiniować zbiór otwarty jako dopełnienie zbioru domkniętego.

Określenie operacji wnętrza

Określenie operacji domknięcia

Określenie bazy

Określenie podbazy

Zobacz też: podstawowe zagadnienia z zakresu matematyki...
[click for more]

Tresc udostepniana na licencji 'GNU Free Documentation License'.

Cache: OK - (Cache Hit) | Exec Czas: 0.104 | INTLinks: 26

Contakt: info AT definicja DOT com
"spójność topologii gwiazdy"
"topologiczne własności figur geometrycznych"
"wnętrza i domknięcia zbioru"
"ośrodkowość przestrzeni"
"homeomorfizm przestrzeni"
"homeomorfizm"