Teoria modeli (nazywana też czasem semantyką
logiczną) to dział logiki matematycznejLogika to dział filozofii i jednocześnie matematyki zajmujący się analizą elementarnych zasad poprawnego rozumowania. Logika (zarówno matematyczna, jak i filozoficzna) nie analizuje zawartości merytorycznej badanych zdań, lecz tylko bada czy są one poprawnie skonstruowane z czysto formalnego punktu widzenia....
[click for more] zajmujący się
badaniem własności modeli teorii aksjomatycznych i zależności
między nimi. Dziedzina ta jest w znacznym stopniu powiązana z
algebrą i teorią
mnogości, ale ma też mocno rozbudowany własny aparat pojęciowy
i w swojej współczesnej postaci jest w pełni samodzielną dziedziną
wiedzy.
Początki teorii modeli
Początki teorii modeli sięgają lat trzydziestych XX wieku (chociaż pewne
rozważania o teoriomodelowym charakterze były przeprowadzane
znacznie wcześniej), kiedy osiągnięto wiele ważnych wyników, które
stworzyły fundament dla dalszego bujnego rozwoju tej dziedziny.
Największe osiągnięcia tego okresu wiąże się zazwyczaj z nazwiskami
GödlaKurt Gödel (28 kwietnia 1906, Brno - 14 stycznia 1978, Princeton) - austriacki logik i matematyk; autor ważnych twierdzeń z zakresu logiki matematycznej, współautor jednej z aksjomatyk teorii mnogości. Do najbardziej znanych osiągnięć matematycznych Gödla należą twierdzenia o niezupełności i niesprzeczności bogatszych teorii dedukcyjnych (to znaczy takich, które obejmują arytmetykę liczb naturalnych)....
[click for more] i
Tarskiego,
którzy przez współczesnych są zaliczani do grona najwybitniejszych
logików wszech czasów.
Alfred Tarski, polski logik i matematyk, jest powszechnie
uważany za twórcę teorii modeli. W swojej słynnej pracy Pojęcie
prawdy w językach nauk dedukcyjnych z 1933...
[click for more] roku rozważał między innymi pojęcie zdania
prawdziwego i jego różne możliwe definicje. Wykazał on w
szczególności, że można podać definicję prawdy dla dowolnego
języka skończonego rzędu, zaś dla języków nieskończonego rzędu już
nie. Tarski zdefiniował pojęcie spełniania (funkcji
zdaniowej przez ciąg elementów oraz zdania przez model), które
jest kluczowe dla całej teorii modeli i w nieznacznie zmienionej
formie używane do dzisiaj. Opracował też między innymi pewną metodę
badania czy dany model stanowi elementarną podstrukturę innego
(test Tarskiego-Vaughta). Badania Tarskiego nad związkami
między syntaktyką i semantyką logiczną miały ogromny wpływ na
ugruntowanie podstaw teorii modeli.
Austriak Kurt Gödel (sławny dzięki wspaniałym
osiągnięciom w dziedzinie logiki, również niezwiązanym z teorią
modeli) udowodnił w 1931...
[click for more] roku
twierdzenie o istnieniu modelu, które głosi, że każda
niesprzeczna teoria pierwszego rzędu ma model.
Natychmiastowym wnioskiem z tego twierdzenia jest inne, znane jako
twierdzenie o pełności klasycznego rachunku logicznego.
Orzeka ono, że teoria T dowodzi zdania X (tzn. istnieje dowód
zdania X oparty na zdaniach należących do teorii T oraz aksjomatach
i regułach dowodzenia klasycznego rachunku
logicznegoKlasyczny rachunek logiczny to system logiczny, na który składają się rachunek zdań oraz rachunek predykatów pierwszego rzędu (czyli rachunek kwantyfikatorów). Klasyczny rachunek logiczny w pełni wystarcza do przeprowadzenia zdecydowanej większości rozumowań matematycznych....
[click for more]) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy model teorii T
spełnia zdanie X. Prowadzi to do ważnego wniosku, że pojęcia
konsekwencji syntaktycznej i semantycznej są równoważne i można ich
używać wymiennie, w zależności od tego, które się łatwiej daje
zastosować w danym przypadku. Warto przy tym zwrócić uwagę, że
zgodnie z wynikami Tarskiego w teorii muszą istnieć jednocześnie
zdania prawdziwe których teoria nie dowodzi i że pojęcie
prawdziwości i konsekwencji syntaktycznej (dowodliwości) są różne.
Sam Tarski w swojej pracy naukowej konsekwentnie unikał czysto
formalnego operowania symbolami i prezentował pogląd w ramach
którego ważne jest znaczenie badanych zdań teorii a nie
jedynie ich syntaktyczne związki z innymi zdaniami. Zatem
równoważność konsekwencji syntaktycznej i semantycznej należy
rozumieć jako równoważność wewnetrzną teorii a nie jako orzeczenie
o prawdziwości zdania jako cechy wynikającej z jego syntaktycznych
związków. Znane są bowiem zdania, o których wiadomo że są
prawdziwymi zdaniami pewnych teorii (i jest na to dowód), nie są
one jednak w danej teorii dowiedlne (dowód wymaga środków
wykraczających poza daną teorię). Przykładów takich zdań dostarcza
np. dowód twierdzenia Gödla. W konsekwencji zdania dowiedlne w
danej teorii (czyli we wszystkich jej modelach) stanowią
podzbiór właściwy zdań prawdziwych danej teorii. Tym samym
twierdzenie o równoważności syntaktyki i semantyki może dotyczyć
wyłącznie części wspólnej tych zbiorów, nie zaś pełnego zbioru zdań
prawdziwych danej teorii czy zbioru zdań prawdziwych w ogóle.
Wyodrębienie jako dział logiki
Ważnym etapem w rozwoju teorii modeli były lata sześćdziesiąte
XX wieku, kiedy
wyraźnie wyodrębniła się ona jako jeden z kilku działów logiki
matematycznej. Matematycy i logicy uzyskali wtedy wiele
istotnych rezultatów, znacznie rozbudowując przy okazji aparat
pojęciowy teorii modeli i wyznaczając dla tej dziedziny zupełnie
nowe kierunki rozwoju. Poniżej wymieniamy tylko niektóre ważniejsze
wydarzenia z tego okresu.
- W roku 1960...
[click for more] Jerzy
Łoś udowodnił fundamentalne twierdzenie o
ultraprodukcie, zaś badanie ultraproduktów stało się ważnym
fragmentem teorii modeli. Ten sam matematyk sformułował hipotezę
dotyczącą kategoryczności teorii zupełnej w mocach
nieprzeliczalnych.
- W roku 1961...
[click for more] Robert
Vaught wykazał, że nie istnieje teoria zupełna, która ma
dokładnie dwa modele przeliczalne (z dokładnością do izomorfizmu).
Następnie wysunął hipotezę bezpośrednio związaną z jego ówczesnymi
rozważaniami - nierozstrzygniętą po dziś dzień hipotezę
Vaughta. Głosi ona, że jeśli przeliczalna teoria zupełna ma
nieprzeliczalnie wiele modeli przeliczalnych, to ma ich continuum. Prace nad
hipotezą Vaughta przyniosły tylko częściowe wyniki, ale ogromnie
wzbogaciły zasób pojęć teorii modeli.
- W roku 1963 Paul
Cohen podał dowód niezależności pewnych zdań od powszechnie
przyjętych aksjomatów teorii mnogości ZF. Niezależne okazały
się w szczególności tak znane zdania, jak aksjomat wyboru
czy hipoteza continuumHipoteza continuum to hipoteza postawiona przez Georga Cantora dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych....
[click for more]. Cohen zastosował
nowatorską metodę zwaną forcingiem (czyli
wymuszaniem). Metoda ta była później wielokrotnie z
powodzeniem używana do wykazywania niezależności różnych zdań od
aksjomatów teorii mnogości.
- Wreszcie w roku 1964...
[click for more]
Michael Morley rozstrzygnął pozytywnie wzmiankowaną
wcześniej hipotezę Łosia. Udowodnił on bowiem, że jeśli
teoria zupełna w języku przeliczalnym jest kategoryczna w pewnej
mocy nieprzeliczalnej, to jest kategoryczna we wszystkich mocach
nieprzeliczalnych.
Ze względu na dokonania Morley'a i zastosowane przez niego nowe
metody (między innymi w dowodzie wyżej wspomnianego twierdzenia
dotyczącego kategoryczności teorii, które ktoś nazwał pierwszym
głębokim twierdzeniem teorii modeli) rok 1964 jest przez niektórych uznawany za symboliczną
datę wyodrębnienia się teorii modeli z logiki jako samodzielnej
dziedziny.
Rozwój teorii modeli
W latach siedemdziesiątych XX wieku szczególnie duże zasługi dla rozwoju teorii
modeli położył izraelski matematyk Saharon Shelah. Próbował
on klasyfikować teorie ze względu na liczbę oraz stopień
komplikacji ich modeli. Rozważał pewne kombinatoryczne własności
modeli, dzięki użyciu których mógł dokonać podziału teorii na łatwo
dające się opisać klasy. Szczególnie interesowały go te teorie,
które mają stosunkowo mało modeli w każdej mocy - uważał je za
prostsze od innych i lepiej nadające się do klasyfikowania. Shelah
stworzył hierarchię stabilności, która zawiera kolejne klasy
coraz bardziej niestabilnych teorii (teorie z ostatniej klasy noszą
właśnie nazwę niestabilnych). Metoda, którą Shelah
specjalnie wymyślił i stosował w swoich badaniach, to
forking (czyli rozwidlanie) i jest dziś jednym z
podstawowych narzędzi używanych w teoriomodelowych
rozważaniach.
W tym samym czasie co Shelah teorię modeli rozwijało wielu
innych matematyków. W swoich ówczesnych badaniach próbowali oni
odpowiedzieć na pytanie, jak różne pojęcia logiczne wyglądają w
konkretnych strukturach algebraicznych (czyli na przykład w
grupach, pierścieniach, ciałach czy modułach). Zresztą teoria modeli od
początku swego istnienia była rozwijana z zamiarem zastosowania jej
metod w algebrze, zaś
struktury algebraiczne są najbardziej naturalnymi przykładami
modeli.
Z biegiem lat specjaliści z teorii modeli obejmowali swym
zainteresowaniem coraz szersze obszary matematykiMatematyka była niegdyś rozumiana jako nauka o liczbach (arytmetyka) i figurach (bryłach) geometrycznych (geometria). Do dziś w popularnych encyklopediach określana jest jako nauka o wielkościach, czyli o stosunkach ilościowych i formach przestrzennych. Z biegiem czasu dodano również do obszaru zainteresowań matematyki wszystko, co wiąże się z pojęciem granicy....
[click for more]. Od lat osiemdziesiątych XX wieku teorię modeli stosuje
się w geometrii algebraicznejGeometria algebraiczna to dziedzina geometrii, która zajmuje się badaniem obiektów o charakterze geometrycznym przy użyciu metod algebry. Główne zagadnienia geometrii algebraicznej obejmują odpowiedzi na pytania w jaki sposób struktura algebraiczna obiektu (np. struktura grupy) wpływa na strukturę geometryczną i odwrotnie. Dziedziną algebry mającą najliczniejsze zastosowania w geometrii algebraicznej jest teoria pierścieni....
[click for more], a nawet w
analizieAnaliza matematyczna to zespół teorii obejmujący wiele ważnych działów matematyki. Początkowo analiza matematyczna obejmowała jedynie to, co dzisiaj nazywamy rachunkiem różniczkowym i całkowym. Jej rozwój zainicjowały prace Leibniza i Newtona z początku XVII wieku....
[click for more] (teoria struktur
o-minimalnych). Jest to dynamicznie rozwijający się dział
logikiLogika to dział filozofii i jednocześnie matematyki zajmujący się analizą elementarnych zasad poprawnego rozumowania. Logika (zarówno matematyczna, jak i filozoficzna) nie analizuje zawartości merytorycznej badanych zdań, lecz tylko bada czy są one poprawnie skonstruowane z czysto formalnego punktu widzenia....
[click for more], w którym wciąż
można spodziewać się ważnych i ciekawych wyników.
Zobacz też
podstawowe
zagadnienia z zakresu matematyki...
[click for more]
