Definicja Teoria liczb

Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczbLiczba to podstawowe pojęcie matematyki, które kształtowało się i rozwijało wraz z rozwojem cywilizacji i kultury. W pierwotnym znaczeniu była to wspólna własność zbiorów skończonych mających tyle samo elementów. Wyodrębnienie takiej wspólnej własności zbiorów jednoelementowych, zbiorów dwuelementowych i tak dalej doprowadziło do określenia pojęcia liczb naturalnych. Tak rozumiane liczby służą do liczenia przedmiotów. Po rozszerzeniu na zbiory nieskończone dało podstawę pojęc...
[click for more] - początkowo tylko naturalnychLiczby naturalne – liczby używane powszechnie do liczenia (na obiedzie były trzy osoby) i ustalania kolejności (był trzeci na liście). Pojęcie liczby jest jednym z najstarszych i najbadziej abstakcyjnych pojęć jakie wytworzyła ludzkość, wydaje się jednak, że niewiedza na temat czym liczby są nie przeszkadza nam sprawnie się nimi posługiwać. Badaniem własności liczb naturalnych zajmuje się teoria liczb, badaniem problemów związanych z liczeniem – kombinatoryka....
[click for more]. Obecnie należałoby powiedzieć: głównie naturalnych.

Jej początki sięgają starożytności. Zajmowali się nią PitagorasPitagoras (VI wiek p.n.e.) – grecki, matematyk, filozof, mistyk. Najbardziej znany jest jako autor słynnego twierdzenia Pitagorasa....
[click for more], Euklides, EratostenesEratostenes (Eratostenes z Cyreny, gr. Ερατοσθένης; ur. 276 p.n.e. - zm. 194 p.n.e.) - grecki matematyk, astronom, filozof, geograf i poeta....
[click for more], DiofantosDiofantos - matematyk żyjący w przełomie II i III wieku przed naszą erą. Z jego głównego dzieła "Arytmetyka", składajacego się z 13 ksiąg, zachowało się tylko 6. Są one dowodem genialnych osiągnięć algebraicznych. Matematyk rozwiazuje w nich równania do trzeciego stopnia włącznie, w zakresie szerszym niż Babilończycy, wprowadzając również więcej niewiadomych, które oznacza specjalnymi literami. Posługuje się już symbolem odejmowania i na szeroką skalę stosuje skróty słowne ...
[click for more] i wielu innych. Bujny rozwój teorii liczb datuje się mniej więcej od czasów działalności Pierre'a FermataPierre de Fermat, (urodzony 17 sierpnia 1601 - zmarł 12 stycznia 1665) znakomity matematyk (samouk) francuski, z wykształcenia prawnik i lingwista, od 1631 radca parlamentu w Tuluzie. Większość jego prac opublikował dopiero po jego śmierci syn (1679). Dokonał wielu odkryć w teorii liczb, m. in. sformułował słynne Wielkie Twierdzenie Fermata i jeszcze przed Kartezjuszem opracował i stosował metodę współrzędnych w geometrii. Wykazał, że wszystkie krzywe drugiego stopnia da się uzyskać pr...
[click for more] (1601-1665), autora słynnego Wielkiego Twierdzenia Fermata. Ogromny wkład w rozwój teorii liczb miał słynny Carl Friedrich Gauss, zaś z polskich matematyków - Wacław Sierpiński.

Badania w zakresie teorii liczb przyczyniły się do znacznego rozwoju wielu gałęzi matematyki: algebry, teorii funkcji zmiennej zespolonej, rachunku prawdopodobieństwa, geometrii algebraicznej i innych.

Najstarszym działem teorii liczb jest elementarna teoria liczb, w której nie stosuje się metod analizy matematycznej. Jednym z najważniejszych osiągnięć elementarnej teorii liczb jest dowód Erdösa i Selberga pewnego twierdzenia o liczbach pierwszych. Teoria liczb zajmuje się również rozwiązywaniem równań w dziedzinie liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych oraz (od niedawna) liczb p-adycznych.

Równania diofantyczne

Podstawowym problemem teorii równań diofantycznych, bo tak nazywa się ten dział matematyki, jest znalezienie efektywnych sposobów wyznaczenia rozwiązań danego równania. Okazało się, że nie istnieje algorytm, który w każdym przypadku prowadziłby do rozwiązania równania diofantycznego. Znane są tylko algorytmy rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych wielu zmiennych oraz pewnych szczególnych przypadków równań wyższych stopni.

Często nie można nawet odpowiedzieć na podstawowe pytania: czy dane równanie diofantyczne ma choć jedno rozwiązanie, czy liczba tych rozwiązań jest skończona, czy jest ich nieskończenie wiele?

Do efektywnego rozwiązywania równań diofantycznych przydatna jest teoria kongruencji. Kongruencja to przystawanie liczb "modulo n": liczby a i b przystają modulo n, jeżeli ich różnica a-b dzieli się bez reszty przez n, co zapisuje się: a ≡ b (mod n).

Klasycznym przykładem równania diofantycznego, rozwiązanego w liczbach naturalnych już przez samego Diofantosa (to od jego nazwiska ukuto nazwę tego działu matematyki), jest problem trójkątów pitagorejskich. Szukamy rozwiązań w liczbach naturalnych równania: x² + y² = z². Przykładowe rozwiązania to następujące trójki pitagorejskie: (3, 4, 5), (5, 12, 13),.... Rozwiązania nie będące wielokrotnościami innych rozwiazań to tzw. "rozwiązania właściwe".

Takich trójkątów pitagorejskich (o bokach całkowitej długości) jest nieskończenie wiele. Wszystkie rozwiązania właściwe równania Pitagorasa w liczbach naturalnych (x, y, z) można uzyskać ze wzorów, które znał już Diofantos: $x = k 2 - l 2$ , $y = 2 k l$ , $z = k 2 + l 2$ ; gdzie k, l to liczby naturalne, przy czym k > l. Jeśli k i l są względnie pierwsze uzyskuje się rozwiązania właściwe, nie będące wielokrotnością innych rozwiązań. W ten sposób można uzyskać wszystkie rozwiązania właściwe. Inaczej: jeśli długości boków trójkąta pitegorejskiego nie mają wspólnego dzielnika, to istnieje tak liczba zespolona całkowita z, że boki trójkąta to: Re(z²), Im(z²), |z²|.

Istnieje też geometryczna konstrukcja Vogelera umożliwiająca znajdowanie trójkątów pitagorejskich, ale nie ma znaczenia praktycznego. Sposób Vogelera pozwala również skonstruować wszystkie ułamki pitagorejskie: każda znaleziona trójka pitagorejska generuje trzy następne.

Podział teorii liczb

Teoria liczb podzielona jest obecnie na wiele mniejszych działów. Można w niej wyodrębnić m. in. część algebraiczną, analityczną i probabilistyczną.

Można też podzielić ten dział matematyki na addytywną i multiplikatywną teorię liczb. Pierwsza zajmuje się dodawaniem i odejmowaniem, a druga mnożeniem i dzieleniem liczb całkowitych. Te wydawałoby się proste operacje arytmetyczne prowadzą nierzadko do trudnych i wciąż nierozwiązanych problemów, takich jak problem CollatzaProblem Collatza (znany też jako problem 3x+1) to nie rozstrzygnięty dotychczas (i nie wiadomo, czy w ogóle rozstrzygalny) problem o wyjątkowo prostym – jak wiele innych problemów teorii liczb – sformułowaniu. Weźmy dowolną liczbę naturalną c0 (większą od 0). Jeśli jest ona parzysta, to za c1 przyjmijmy c0/2, w przeciwnym wypadku niech c1=3c0 + 1. Z liczbą c1 postępujemy podobnie jak z c0. Hipoteza Collatza stwierdza, że niezależnie od jakiej liczby wystartujemy, w końcu dojdziemy do l...
[click for more] czy słynna hipoteza GoldbachaHipoteza Goldbacha jest jednym z najstarszych nierozwiązanych problemów w teorii liczb. W 1742 roku w liście do Leonharda Eulera Christian Goldbach postawił hipotezę, że...
[click for more], która jest przykładem nie udowodnionego przez wieki twierdzenia o sumach liczb pierwszych (addytywna teoria liczb).

Zobacz też: przegląd zagadnień z zakresu matematyki

Kategorie stron: Teoria liczb...
[click for more]