Teoria kategorii to dział matematyki, który bada struktury matematyczne i związki między nimi.
Wprowadzenie
Podstawy teorii kategorii stworzyli amerykańscy matematycy Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane. W swojej pionierskiej pracy z 1945...
[click for more] roku wprowadzili oni główne pojęcia tej teorii (czyli przede wszystkim kategorie oraz ich odwzorowania nazywane funktorami). Teoria kategorii jest nie tylko dziedziną nauki, lecz także pewnym sposobem myślenia oraz wyrażania zależności pomiędzy różnymi obiektami matematycznymi. Teoriokategoryjny sposób pojmowania rzeczywistości matematycznej różni się znacznie od tego, który oferuje teoria mnogości. Wprawdzie to na gruncie tej ostatniej sformalizowano współczesną matematykę, lecz wielu uważało teorię kategorii za godną uwagi alternatywę.
Niektórzy matematycy uważają teorię kategorii za dział algebry, inni zaś za samodzielną dyscyplinę. Na rzecz tego drugiego stanowiska przemawia fakt, że teoria kategorii ma bardzo ogólny charakter i liczne zastosowania w rozmaitych działach matematyki (przede wszystkim zaś w topologii algebraicznejTopologia algebraiczna to dział matematyki, który zajmuje się badaniem przestrzeni topologicznych przy użyciu metod o charakterze algebraicznym. Zazwyczaj polega ono na tym, że przestrzeniom topologicznym przyporządkowuje się pewne obiekty algebraiczne (przykładem takiego obiektu może być tak zwana grupa podstawowa przestrzeni topologicznej). Przyporządkowanie takie powinno spełniać określone warunki, na przykład taki, że obiekty przyporządkowane przestrzeniom homeomorficznym (czyli izomorf...
[click for more] i geometrii algebraicznej). O silnych związkach z algebrą świadczy zaś choćby to, że niektórzy matematycy utożsamiają teorię kategorii z algebrą homologiczną Algebra homologiczna to dział algebry skupiający w sobie te fragmenty wiedzy algebraicznej, które mają zastosowanie w topologii algebraicznej. Upraszczając, jest to algebraiczne zaplecze tej ostatniej, na które składają się między innymi niektóre obszary teorii grup, teorii modułów i teorii pierścieni. Algebra homologiczna ma ścisły związek z teorią kategorii....
[click for more], jedną z poddziedzin współczesnej algebry.
Kategorie
Definicje
Kategoria składa się z:
- klasy obiektów,
- dla każdych dwóch obiektów A i B klasy Mor(A,B) morfizmów z A do B. Jeżeli f należy do Mor(A,B), to wówczas piszemy f : A → B,
- dla każdych trzech obiektów A, B oraz C określona jest operacja Mor(A,B) × Mor(B,C) → Mor(A,C) nazywana złożeniem morfizmów
taka że:
- składanie jest łączne; jeżeli f : A → B, g : B → C oraz h : C → D to wówczas h o (g o f) = (h o g) o f, oraz
- istnieje morfizm identycznościowy; dla każdego obiektu X istnieje morfizm idX : X → X nazywany morfizmem identycznościowym dla X, taki że dla każdego morfizmu f : A → B mamy idB o f = f = f o idA
Złożenie f : A → B z g : B → C zapisujemy jako g o f lub gf.
Z aksjomatów tych wynika że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm identycznościowy.
Jeżeli rozpatrywana klasa obiektów jest zbiorem, to wówczas kategorię nazywamy małą. Istnieje wiele ważnych kategorii które nie są małe.
Przykłady
Każda kategoria jest określana przez jej obiekty i morfizmy pomiędzy nimi.
- Kategoria Set wszystkich zbiorów wraz z funkcjami pomiędzy mini.
- Kategoria Grp składająca się z grup wraz z homomorfizmami Homomorfizm to funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr. Definicja Niech A=<A, f(1),...,f(n)> i B=<B, g(1),...,g(n)> będą algebrami ogólnymi tego samego typu, zaś h : A → B funkcją przekształcającą zbiór A w zbiór B. Dla i=1,...,n niech a(i) będzie arnością operacji f(i) oraz g(i) (arności te muszą być równe, bo algebry A i B mają ten sam ...
[click for more].
- Kategoria Ab składająca się z grup Abelowych wraz z ich homomorfizmami.
- Kategoria VectK przestrzeni wektorowych nad ciałem K wraz ze wszystkimi odwzorowaniami K-liniowymi.
- Dla dowolnej kategori C możemy rozpatrywać kategorię która składa się z obiektow kategorii C i w której ziór morfizmów skłąda się z morfizmów odwrotnych od morfizmów z C. taka nowa kategoria nazywana jest kategorią dualną do C i oznaczana jest jako Cop.
Zobacz też