Teoria grup to jeden z działów matematyki, uznawany za część algebryAlgebra to jeden z najstarszych działów matematyki, który powstał w starożytności. Słowo algebra pochodzi z tytułu dzieła uczonego arabskiego Alchwarizmiego (IX wiek) Hisab al-dżabr wa'l-mukabala (O odtwarzaniu i przeciwstawianiu) i dotyczy przenoszenia wyrazów o współczynnikach ujemnych z jednej strony równania na drugą oraz skracania równań stronami. Początkowo, jak wskazuje pochodzenie jej nazwy, algebra zajmowała się rozwiązywaniem równań pierwszego i drugiego stopnia o współczy...
[click for more], badający własności obiektów zwanych grupami. Wraz z zastosowaniami stanowi on obecnie ogromną, autonomiczną dziedzinę wiedzy.
Historia
Początki teorii grup były związane z badaniami nad rozwiązalnością równań algebraicznych. W XVI wiekuXV wiek XVI wiek XVII wiek Lata 1500-1509 Lata 1510-1519 Lata 20. Lata 30. Lata 40. Lata 50. Lata 60. Lata 70. Lata 80. Lata 90....
[click for more] znaleziono metody rozwiązywania równań 3 i 4 stopnia (wzory podali odpowiednio: Cardano i Ferrari). W roku 1824 matematyk norweski Niels Henrik AbelNiels Henrik Abel (5 sierpnia 1802, Findö koło Stavanger - 6 kwietnia 1829, Frolandsvark pod Arendal) matematyk norweski....
[click for more] udowodnił, że niektórych równań algebraicznych rzędu większego niż 4 nie da się rozwiązywać przez podanie podobnych wzorów; postawiono więc pytanie: "jakie równanie algebraiczne o danych współczynnikach liczbowych można w podobny sposób rozwiązać?" Matematyk francuski Évariste GaloisEvariste Galois (urodzony 25 października 1811 - zmarł 31 maja 1832), francuski matematyk o bardzo dużych zasługach dla rozwoju algebry, w szczególności zagadnienia rozwiązywalności wielomianów. Zginął w pojedynku w wieku 21 lat, choć istnieje też wersja że został zamordowany za sympatie republikańskie, a pojedynek jedynie upozorowano....
[click for more] rozwiązał ten problem w roku 1830...
[click for more], badając własności pewnej grupy skończonej. Prace Galois dały początek teorii grup, która z kolei zapoczątkowała rozwój nowoczesnej algebry.
Zastosowania
Teoria grup ma liczne zastosowania w fizyce i chemii. Wszędzie, gdzie bada się symetrie obiektów fizycznych (atomów, cząsteczek, struktur krystalicznych) lub bardziej abstrakcyjnych struktur jak czasoprzestrzeń czy pole fizyczne stosowane są narzędzia teorii grup.
W szczególności:
- związek grup przekształceń z symetriami układów fizycznych prowadzi do opisu zasad zachowaniaPrawa zachowania, prawa fizyki stwierdzające, że w układach fizycznych izolowanych od otoczenia określone wielkości fizyczne pozostają stałe. Istnieją zarówno zachowania zasady obowiązujące bezwzględnie, jak i zachowania zasady słuszne tylko dla niektórych procesów. Wielkości zachowywane bezwzględnie to energia, pęd, moment pędu, ładunek elektryczny, a także - wg danych doświadczalnych - liczba barionowa i liczba leptonowa....
[click for more] i twierdzenia NoetherTwierdzenie Noether ujmuje powiązanie zasad zachowania w fizyce z symetrią ciągłą. Twierdzenie Noether ma fundamentalne znaczenie w fizyce. Twierdzenie to mówi, że każda ciągła symetria praw fizyki opisywana przez grupę Liego generuje tyle praw zachowania ile jest niezależnych parametrów opisujących daną grupę Liego (lub generatorów grupy Liego)....
[click for more], jednego z najważniejszych dla fizyki Fizyka (z gr. phýsis - przyroda) jest nauką o przyrodzie w najszerszym znaczeniu tego słowa. Fizycy badają właściwości i przemiany materii i energii, które są opisywane jako zjawiska fizyczne. Do opisu materii i zjawisk fizycznych fizycy używają wielkości fizycznych, opisują sposób wyrażenia wielkości fizycznych za pomocą pojęć matematycznych (liczba, wektor, tensor itp.), tworzą teorie fizyki, które są zwykle wyrażane jako matematyczne związki między wielkościami fizycznymi....
[click for more] twierdzeń matematycznych Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu, stosowana we wszystkich naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań, które łączy relacja implikacji. Pierwszy zbiór zdań określa ściśle warunki dla których dane twierdzenie jest spełnione i nazywa się założeniem twierdzenia, a drugi zbiór zdań jest sądem właściwym, będącym istotną treścią wypowiadanego twierdzenia i zwany jest tezą twierdzenia....
[click for more]
- formalizm matematyczny mechaniki kwantowej opiera się na teorii reprezentacji grupW matematyce, w teorii grup reprezentacją grupy G nazywamy każde odwzorowanie homomorficzne , gdzie jest przestrzenią wektorową nad jakimś ciałem , a GL(V) przestrzenią odwzorowań liniowych ...
[click for more].
W szczególności teorią grup zainteresowani są przedstawiciele takich dziedzin, jak fizyka cząstek elementarnych, spektroskopiaSpektroskopia jest to nauka o powstawaniu i interpretacji widm powstających w wyniku oddziaływań wszelkich rodzajów promieniowania na materię rozumianą jako zbiorowisko atomów i cząsteczek. Spektroskopia jest też często rozumiana jako ogólna nazwa wszelkich technik analitycznych polegających na generowaniu widm....
[click for more] czy fizyka ciała stałego (w tym krystalografiaKrystalografia (od greckich słów crystallon = zamrożona kropla, w znaczeniu rozszerzonym na wszystkie ciała stałe o pewnym stopniu przeźroczystości oraz graphein = pisać) to dział nauki zajmujący się opisem, klasyfikacją i badaniem kryształów, krystalitów oraz substancji o strukturze częściowo uporządkowanej. Jej zakres pokrywa się częściowo z mineralogią, fizyką ciała stałego, chemią i materiałoznawstwem....
[click for more]). Jej zastosowania obejmują także kryptografięKryptografia (z gr. kryptós "ukryty", gráphein "pisać") to nauka zajmująca się układaniem szyfrów. Wyróżniane są dwa główne nurty kryptografii: Kryptografia symetryczna Kryptografia asymetryczna ...
[click for more], genetykęGenetyka to nauka o dziedziczności i zmienności organizmów, które są oparte na informacji zawartej w podstawowych jednostkach dziedziczności - genach. (genom} Za prekursora genetyki uważa się czeskiego zakonnika Grzegorza Mendla. Sformułował on podstawowe zasady dziedziczności, tak zwane prawa Mendla....
[click for more] i wiele innych dziedzin nauki, a nawet sztuki (zobacz: przegląd zagadnień z zakresu matematyki, M. C. EscherMaurits Cornelis Escher (ur. 17 czerwca 1898 w Leeuwarden; zm. 27 marca 1972 w Laren) - holenderski malarz i grafik....
[click for more]).