Definicja Teoria dystrybucji

Teoria dystrybucji to dział matematyki leżący na pograniczu analizy funkcjonalnejAnaliza funkcjonalna to dział analizy matematycznej zajmujący się przestrzeniami funkcyjnymi. Rozwinął się w trakcie studiów nad odwzorowaniami zwanymi transformatami (przede wszystkim nad transformatą Fouriera) oraz równaniami różniczkowymi i całkowymi....
[click for more] i teorii funkcji rzeczywistych. Powstała w XX wieku, głównie za sprawą prac francuskiego matematyka Laurenta SchwartzaLaurent Schwartz (urodzony 5 marca 1915 w Paryżu - zmarł 4 lipca 2002), matematyk francuski. Od roku 1953 profesor Sorbony, od 1963 w Ecole Polytechnique w Paryżu, gdzie wykładał do roku 1980. W roku 1975 został członkiem francuskiej Akademii Nauk. Od 1991 członek PAN. Prowadził prace z teorii dystrybucji, analizy funkcjonalnej, topologii i fizyki matematycznej. W roku 1950 otrzymał medal Fieldsa....
[click for more]. Zasadnicza idea tej teorii polega na pewnego rodzaju uogólnieniu pojęcia operatora liniowego na przestrzeni wektorowej do operatora liniowego nad przestrzenią funkcyjną. Dystrybucje cechują się dobrymi własnościami algebraicznymi, m.in. posiadają pochodne dowolnego rzędu. Z uwagi na ten fakt oraz na własności dystrybucji związane z transformatą FourieraTransformata Fouriera, nazwana na cześć Jean Baptiste Joseph Fouriera, jest transformatą w dziedzinę częstotliwości. Rezultatem działania transformaty jest funkcja w dziedzinie częstotliwości....
[click for more] oraz operacją splotu, metody dystrybucyjne mają ważne znaczenie w teorii równań różniczkowych liniowych.

To jest tylko zalążek artykułu. Jeśli możesz, rozbuduj go.

Formalna definicja przestrzeni D' dystrybucji na $R n$

Jeśli U jest otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej $\mathbb{R}^n$ (w szczególności $U = \mathbb{R}^n$ ), to przez $D (U)$ oznacza się przestrzeń liniową funkcji gładkich o zwartym nośniku, przyjmujących wartości w $\mathbb{R}$ lub $\mathbb{C}$ . Zatem przestrzeń $D (U)$ składa się z takich funkcji określonych na zbiorze U, które mają ciągłe pochodne cząstkowe dowolnego rzędu, a ponadto przyjmują wartość zero poza zbiorem ograniczonym.

W przestrzeni $D (U)$ można określić pojęcie zbieżności, przyjmując, że ciąg funkcji { $f n$ } jest zbieżny do funkcji granicznej f wtedy i tylko wtedy, gdy:

istnieje zbiór ograniczony $A{\subset}U$ , w którym zawierają się nośniki wszystkich funkcji $f n$

dla $n \in N$ (a więc funkcje $f n$ zerują się poza zbiorem A);

dla r = 0, 1, 2, 3, ... ciąg { $D (r) f n$ } pochodnych cząstkowych rzędu r funkcji $f n$ jest zbieżny do odpowiedniej pochodnej cząstkowej funkcji f (dotyczy to wszystkich możliwych pochodnych cząstkowych danego rzędu).

Wówczas przestrzeń D'(U) dystrybucji na U określamy jako zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych na D(U).

Utożsamienie funkcji lokalnie całkowalnych z dystrybucjami

Mając tak ukreśloną przestrzeń D'(U) dystrybucji na U, możemy przypisać każdej funkcji f lokalnie całkowalnej na U dystrybucję $T \in D\'(U)$

$T: D(U) \rightarrow \mathbb{R}$

określoną wzorem:

$\phi \mapsto \int_U f\phi$

Taki zabieg pozwala na traktowanie pewnych dystrybucji, zwanych regularnymi, jako funkcji lokalnie całkowalnych. W przestrzeni dystrybucji D'(U) można następnie określić operację różniczkowania, transformacji Fouriera oraz splotu tak, aby miały one jednakowy sens, jak w przypadku analogicznych działań na funkcjach. Co więcej, operacje te określone są na wszystkich dystrybucjach, niezależnie od tego, czy da się je utożsamić z jakimikolwiek funkcjami.

Delta Diraca

Delta Diraca to bardzo ważny w zastosowaniach przykład dystrybucji nieregularnej; można ją również zdefiniować jako 'pseudofunkcję'Delta Diraca jest dystrybucją to znaczy operatorem liniowym działającym na pewnej przestrzeni funkcyjnej. Poniżej znajduje się definicja inżynierska tego obiektu:...
[click for more], choć w sensie ścisłym należy ją traktować jako dystrybucję z $D\'(\mathbb{R}^n)$ (możliwe jest przedłużene dystrybucji δ na szersze przestrzenie funkcyjne). Dystrybucję "δ Diraca" określamy wzorem:

${\delta}: D(\mathbb{R}^n) \ni \phi \mapsto \phi(0) \in \mathbb{R}$

Kategorie: Zalążki artykułów - styczeń 2006 | Analiza matematyczna...
[click for more]

Formalna definicja przestrzeni D' dystrybucji na Rn

Utożsamienie funkcji lokalnie całkowalnych z dystrybucjami

Delta Diraca

Formalna definicja przestrzeni D' dystrybucji na $R n$