|
Definicja Matematyka (Szukaj)
|
Matematyka była niegdyś rozumiana jako nauka o liczbach (arytmetykaArytmetyka to w najprostszym rozumieniu nauka o liczbach (przede wszystkim naturalnych, całkowitych i wymiernych) oraz o posługiwaniu się nimi (czyli liczeniu). Trudno ustalić jej początki; przyjmuje się, że pierwsze teoretyczne problemy w tej dziedzinie podjęli starożytni Grecy, którzy na przykład podali dowód istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych i sposób ich znajdowania (sito Eratostenesa) czy też dowód niewymierności pierwiastka kwadratowego z dwóch. W XIX wieku arytmetyka zos...
Obecnie definicje te nie są w pełni adekwatne. Niestety nie ma takiej, która by zadowoliła wszystkich. Chyba najlepiej określić matematykę (zdając sobie sprawę z niedoskonałości tej definicji) jako najogólniejszą naukę dedukcyjną. Pytania filozoficzne o zakres i znaczenie matematykiPodobnie jak brak uznanej i akceptowanej przez wszystkich definicji czym jest matematyka, także kwestia co należy a co nie należy do tej nauki pozostaje otwarta. Problemy te wiażą się ze sobą w wyraźny sposób jako że klasyfikacja treści matematycznych idzie w parze z definicją czym jest nauka anlizująca ten zakres pojęć. Z pewnością można twierdzić, że matematyka jest nauką ścisłą opartą na dedukcji, czyli metodzie dochodzenia do wniosków w oparciu o prawa logiki w sposób absolutnie pewny ( w przeciwieństwie do nauk przyrodniczych czy dziedzin humanistycznych, w których występuje element indukcji, uogólniania prawd ogólnych z doświadczeń szczegółowych). Przedmiotem matematyki są stosunki i relacje zachodzące pomiędzy odpowiednio definiowanymi obiektami abstrakcyjnymi, takimi jak zbiory, liczby, figury geometryczne czy przestrzenie a nawet całe teorie. Nadal nie brak nierozwiązanych kwestii filozoficznych
dotyczących matematyki. Brak satysfakcjonującej odpowiedzi na
pytania o naturę obiektów matematycznych, o to w jakim sensie
można mówić o ich istnieniu, o sens pojęcia prawdy i
prawdziwości zdań matematycznych (wbrew pozorom ani
twierdzenia Gödla, ani koncepcje TarskiegoAlfred Tarski, właśc. Alfred Teitelbaum (ur. 14 stycznia 1901 w Warszawie, zm. 26 października 1983 w Berkeley, Kalifornia, USA) - polski matematyk pochodzenia żydowskiego, jeden z najwybitniejszych logików wszech czasów.... Podobnie nie jest jasne w ramach jakiego procesu ludzie tworzą matematykę. Czy proces ten ma charakter niczym nieskrępowanej twórczości, czy może jest to tylko odkrywanie pewnej obiektywnej rzeczywistości? Można zaryzykować twierdzenie, że chociaż dla pracy matematyka nad konkretnym problemem zwykle nie mają znaczenia odpowiedzi, to jednak nie jest to prawda absoluta, to znaczy, że istnieją takie problemy, na które odpowiedź właśnie zależy od tego czy ktoś uważa że matematykę się tworzy lub że się ją odkrywa. Poglądy na matematykęWspółczesne poglądy na istotę matematyki są pochodną długiej historycznie dyskusji, w której prezentowano rozmaite stanowiska na to, czym jest matematyka. Historyczne poglądy na matematykęPlaton widział w
matematyce sposób na obiektywne poznawanie realnie istniejącego
świata idei niepoznawalnych innymi metodami aniżeli za pomocą
rozumu. ArystotelesArystoteles, 'Αριστοτέλης, Aristotelēs (384 – 322 p.n.e.) – jeden z dwóch, obok Platona największych filozofów greckich. Stworzył opozycyjny do platonizmu i równie spójny idealistyczny system filozoficzny, który bardzo silnie oddziałał na filozofię i naukę europejską, a jego chrześcijańska odmiana zwana tomizmem była od XIII wieku i jest po dziś dzień oficjalną filozofią Kościoła Katolickiego.... Współczesne poglądy na matematykęW filozofii matematyki dominują trzy główne poglądy: formalizm, logicyzm i intuicjonizm. FormalizmZgodnie z założeniami najpopularniejszego prądu w filozofii matematyki, formalizmu, przedmiotem badań matematyki są teorie, które przyjmują do swych rozważań:
Zwróćmy uwagę, że według niektórych formalistów (nie wszystkich,
np. Hilbert, twórca formalizmu, był innego zdania) aksjomat, to
zupełnie dowolne zdanie, które nie musi w szczególności być ani
oczywiście prawdziwe, ani w ogóle mieć cokolwiek wspólnego z
jakąkolwiek rzeczywistością, w szczególności fizyczną
(zastosowaniem matematyki do rzeczywistości zajmuje się głównie
fizyka matematycznaDziedzina leżąca na pograniczu fizyki i matematyki, niekiedy uważana za fragment fizyki teoretycznej, zajmująca się rozwijaniem działów matematyki wykorzystywanych w fizyce oraz badaniem matematycznej struktury teorii i hipotez fizycznych (zwłaszcza tych bardzo zmatematyzowanych - m.in. ogólnej teorii względności, teorii wielkiej unifikacji, teorii strun).... LogicyzmZgodnie z założeniami logicyzmu matematyka jest nauką pochodną od logiki zaś jej wszystkie twierdzenia są wyprowadzalne z ogólnych praw logiki. Tym samym konstrukcje matematyki wynikają z ogólnych i znanych zasad dedukcji zaś obiekty o których mówią, czyli liczby, figury geometryczne i bardziej skomplikowane struktury, są swego rodzaju wytworami umysłu, pojęciami dostępnymi poznaniu dzięki prawom logiki oraz bezpośredniemu wglądowi. Logicyzm nie wypowiada się na temat ich charakteru ontologicznego. IntuicjonizmZgodnie z intuicjonizmem matematyka
zajmuje się obiektami istniejącymi obiektywnie jako idee (realizm)
lub będącymi abstrakcyjnymi wytworami umysłu dostępnymi pełnemu
poznaniu, konstruowanymi w sposób efektywny i skończony.
Kluczowe w tym poglądzie jest to, że obiekty, które rozważa
matematyka, powinny być dostępne poznaniu ludzkiemu, dać się objąć
intuicją, poznaniu przez wgląd, stąd zanegowanie użycia przez
matematykę nieskończoności aktualnej, a nawet nieskończoności
potencjalnej (Kronecker). Intuicjonizm i jego poglądy na matematykę
rozwijają się głównie jako sprzeciw wobec stosowaniu w matematyce
nieefektywnych metod konstrukcji i dowodu, postulując oparcie
podstaw matematyki na bazie finitystycznej. Podstawowe jego prądy
to finityzm i konstruktywizm... Rozmaitość innych poglądówInne obecne poglądy na matematykę są zwykle związane z wymienionymi powyżej, lub mają swe korzenie w wielu historycznych poglądach znanych matematyków i filozofów. Istotą platonizmu matematycznego jest uznanie, iż byty matematyczne (np. trójkąt, liczba Pi, nieskończoność, zbiór liczb naturalnych) istnieją niezależnie od nas, tj. od ludzi nimi się zajmujących. Tym samym matematyk, pracujący z bytami matematycznymi, dokonuje odkryć a nie tworzy. Warto zwrócić uwagę, że nazwa platonizm kojarzona jest zwykle z nazwą idealizm, zaś skoro idee według tego poglądu istnieją obiektywnie, należałoby mówić o realizmie.Konstruktywizm jest doktryną intuicjonistyczną, zgodnie z którą dany byt matematyczny uznaje się za dobrze zdefiniowany (czyli uznaje się jego istnienie i umawia się, że warto się nim zajmować) dopiero wtedy, gdy podany zostanie skończony algorytm jego konstrukcji. Konstruktywiści uznają tylko byty spełniające te wymagania. Tak np. zbiór liczb rzeczywistych można skonstruować ze zbioru liczb naturalnych, jednak dla konstruktywisty postępowanie takie jest na ogół nie do przyjęcia, gdyż prowadzi do obiektów takich jak liczby, których rozwinięcie dziesiętne zawiera cyfry, które nie są możliwe do wyliczenia za pomocą żadnej skończonej procedury. Konstruktywizm proponuje wyjście z takiego stanu rzeczy przez rozważanie wyłącznie tych liczb, których rozwinięcia dziesiętne są obliczalne. Formalizm matematyczny w skrajnej postaci neguje obiektywne istnienie jakichkolwiek bytów matematycznych; w myśl bowiem tej filozofii mniej istotne jest to, czy byty te istnieją obiektywnie - liczą się reguły postępowania z nimi. Matematyka jako taka jest zatem postrzegana jako zbiór reguł i zasad, w myśl których matematycy postępują. Przedmioty postępowań (byty i twory matematyczne) nie są same w sobie tak istotne, jak sposoby działania na nich. Tym samym jest to bliski pogląd do arystotelejskiej koncepcji matematyki, w ramach którego kompletnie bez znaczenia staje się treść twierdzeń matematycznych (semantyka), a jedyne znaczenie przypisuje się wyłącznie mechanicznym operacjom na symbolach (syntaktyce). Znaczący cios takim poglądom zadał Gödel, który udowodnił, że matematyka nie ma zamkniętego charakteru, a więc jej uprawianie zawsze wymaga znajomości treści czy znaczenia wypowiadanych treści, gdyż inaczej nie jest możliwe przeprowadzanie dowodów matematycznych pewnych prawd. Mimo to, współcześnie formalizm jest najpopularniejszym prądem metamatematycznym. Głównie z uwagi na to, że jest programem konstruktywnym, posiadającym jasną i dobrze ugruntowaną metodologię, pozwalającą organizować dostępną wiedzę matematyczną oraz, co nie jest obojętne, przedstawia tę wiedzę w sposób ułatwiający jej przekaz. Warto jednak pamiętać, że matematyka uprawiana przez matematyków zwykle daleka jest od metod formalistycznych, których używa się do przedstawiania znanych i dobrze ugruntowanych teorii, w szczególnośc do pisania podręczników, a nie do tworzenia nowych twierdzeń czy prawd matematycznych. Niektórzy uważają, że matematyka bliższa jest w swojej konstrukcji sztuce niż naukom przyrodniczym i widzą w niej spontaniczną realizację intelektu i rozumu. NiesprzecznośćPodstawowym wymaganiem, jakie stawia się teoriom matematyki, jest niesprzeczność. Dzięki pracom takich matematyków jak Hilbert, Gödel, Alan Turing, Church, Post, Tarski i wielu innych wiemy obecnie, że jest to także najostrzejsze wymaganie, jakie można im stawiać. Historycznie wcześniejszy pogląd, jakoby można dodatkowo od teorii zażądać zupełności, to znaczy, możliwości dowiedzenia wszystkich twierdzeń w ramach raz ustalonej bazy wiedzy, okazał się nieprawdziwy. W latach 30. XX wieku Kurt Gödel dowiódł dwa ważne twierdzenia zwane współcześnie jego imieniem. Wnioski z nich stwierdzają, że albo teoria aksjomatyczna zawierająca w sobie arytmetykę liczb naturalnych jest niesprzeczna albo zupełna, nigdy zaś nie ma obydwu tych własności jednocześnie. Tym samym, jeśli uznamy, że w ramach dowodzenia twierdzeń i ich wyrażania posługujemy się pewnym z góry ustalonym i statycznym zespołem reguł, to niemożliwe jest dowiedzenie wszystkich zdań wyrażalnych w takim systemie. W szczególnosci Gödel dowodząc swoje twierdzenia podał konstruktywny przykład zdań, twierdzeń, które nie mogą zostać dowiedzione na gruncie arytmetyki liczb naturalnych, choć wyrażają pewną prawdę o liczbach naturalnych środkami dopuszczalnymi w ramach aksjomatyki Peano. Sytuacja taka z początku wydawała się być oceniana przez wielu jako ograniczenie matematyki: oto wiedza matematyczna nie pozwala odpowiedzieć na wszystkie pytania jakie można w matematyce zadać. Rychło jednak głębsze zrozumienie znaczenia twierdzeń Gödela doprowadziło do spostrzeżenia, że stan ten odnosi się do założenia, że matematyk posługuje się z góry określonym zestawem metod dowodzenia. Tym samym utracona została nie tyle zdolność matematyki do dowodzenia prawdy matematycznej, co raczej wykazana została niezdolność finitystycznych systemów formalnych do jej wyrażania. Między innymi dlatego, pomimo dowiedzenia twierdzeń Gödla i Tarskiego (o niewyrażalności prawdy w systemie finitystycznym), matematyka ma się świetnie, powstają nowe twierdzenia i w zasadzie nie dostrzega się żadnych objawów kryzysu pojęciowego związanego z opisanymi ograniczeniami. Warto także pamiętać, że zbiór zdań prawdziwych dowolnej teorii (który nie jest tożsamy ze zbiorem twierdzeń tej teorii) jest zbiorem zupełnym. Twierdzenie Gödela wskazuje bowiem na przypadłośc pewnej metody dowodzenia twierdzeń, mianowicie metody formalnej, nie zaś na wadę teorii jako takiej, rozumianej jako możliwość wypowiadania się o pewnych bytach abstrakcyjnych. Za przykład unaoczniający tą różnicę można podać twierdzenia, których nie daje się dowieść na gruncie arytmetyki choć mają czysto kombinatoryczą treść (zliczanie grafów w ramach teorii Ramseya), a które jednak można dowodzić posługując się teorią mnogości. Widać jasno, że powodem niedowiedlności tego zdania jest nie tyle jego treść, a więc jakaś zasadnicza niemożliwość wykonania dowodu, jak w wypadku antynomii kłamcy, lecz po prostu brak odpowiednich narzędzi w ramach arytmetyki liczb naturalnych. Teoria mnogości i jej rola we współczesnej matematyceProces definiowania czym jest wiedza matematyczna oraz rozmaite
problemy wynikające z braku zadowalającej i ścisłej definicji czym
są obiekty matematyczne, oraz w jaki sposób realizowane jest ich
istnienie, doprowadziły do intensywnych poszukiwań zadowalających
podstaw matematyki. Rolę takich podstawowych teorii, do których
sprowadzona miałaby zostać cała matematyka, historycznie pełniło
wiele dziedzin związanych z matematyką lub jej działów. Istniały
próby sprowadzenia matematyki do teorii typów, w wyniku czego
miałaby ona stać się działem logiki. Podobne próby były związane z
teorią liczb naturalnych w ramach prądów finitystycznych.
Współczesna matematyka od lat 60.Lata : 1960, 1961, 1962, 1963, 1964, 1965, 1966, 1967, 1968, 1969... Centralnym pojęciem staje się tu pierwotne pojęcie zbioru, należenia do zbioru oraz relacji. Wprowadza się aksjomaty formalizując podstawowe własności takich obiektów jak aksjomat wyróżniania itp. Rekonstrukcja matematyki polega na stopniowym definiowaniu coraz bardziej złożonych pojęć jak funkcja, klasa abstrakcji, liczba naturalna, liczba rzeczywista. Główne działy matematyki
Czasami do działów matematyki zalicza się także logikę. Zobacz też
Linki zewnętrzne
Kategorie stron: Matematyka... | ||
|
Cache: OK - (Cache Hit) | Exec Czas: 0.210 | INTLinks: 53 Contakt: info AT definicja DOT com "model aksjomatyki Peano" "matematyka dyskretna definicja" "logika + teoria aksjomatyczna" "alfred tarski prawda a dowód" "wyliczenia kombinatoryka" "dowód równań o liczbach naturalnych" "klasyczna definicja prawdopodobieństwa dowód" "topologia Brouwer" "Brouwer intuicjonizm" ""lista symboli matematycznych"" |