Matematyka była niegdyś rozumiana jako naukaNauka to usystematyzowana, wielokrotnie rzeczowo weryfikowana i rzetelna wiedza. Terminem tym określa się też zbiór metod poznawczych, którymi posługują się badacze przy zdobywaniu rzetelnej wiedzy. Pojęcie to w języku polskim jest znacznie szersze niż angielskie "science", które obejmuje jedynie nauki przyrodnicze. ...
[click for more] o liczbach (arytmetyka) i figurach (bryłach) geometrycznych (geometriaGeometria to dział matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Geometria powstała w starożytności. W swych początkach była zbiorem przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów materialnych. Pierwsze próby formułowania twierdzeń geometrii pojawiły się w VI wieku p.n.e. w starożytnej Grecji (Tales z Miletu). Kompilacją poznanych do III wieku p.n.e. faktów jest dzieło Euklidesa Elementy (ok. 300 p.n.e.). Obejmuje ono teorię proporcji, arytmet...
[click for more]). Do dziś w popularnych encyklopediach określana jest jako nauka o wielkościach, czyli o stosunkach ilościowych i formach przestrzennych. Z biegiem czasu dodano również do obszaru zainteresowań matematyki wszystko, co wiąże się z pojęciem granicy.

Obecnie definicje te nie są w pełni adekwatne. Niestety nie ma takiej, która by zadowoliła wszystkich. Chyba najlepiej określić matematykę (zdając sobie sprawę z niedoskonałości tej definicji) jako najogólniejszą naukę dedukcyjną.

Pytania filozoficzne o zakres i znaczenie matematyki

Podobnie jak brak uznanej i akceptowanej przez wszystkich definicji czym jest matematyka, także kwestia co należy a co nie należy do tej nauki pozostaje otwarta. Problemy te wiażą się ze sobą w wyraźny sposób jako że klasyfikacja treści matematycznych idzie w parze z definicją czym jest nauka anlizująca ten zakres pojęć. Z pewnością można twierdzić, że matematyka jest nauką ścisłą opartą na dedukcji, czyli metodzie dochodzenia do wniosków w oparciu o prawa logiki w sposób absolutnie pewny ( w przeciwieństwie do nauk przyrodniczych czy dziedzin humanistycznych, w których występuje element indukcji, uogólniania prawd ogólnych z doświadczeń szczegółowych). Przedmiotem matematyki są stosunki i relacje zachodzące pomiędzy odpowiednio definiowanymi obiektami abstrakcyjnymi, takimi jak zbiory, liczby, figury geometryczne czy przestrzenie a nawet całe teorie.

Nadal nie brak nierozwiązanych kwestii filozoficznych dotyczących matematyki. Brak satysfakcjonującej odpowiedzi na pytania o naturę obiektów matematycznych, o to w jakim sensie można mówić o ich istnieniu, o sens pojęcia prawdy i prawdziwości zdań matematycznych (wbrew pozorom ani twierdzenia Gödla, ani koncepcje TarskiegoAlfred Tarski, właśc. Alfred Teitelbaum (ur. 14 stycznia 1901 w Warszawie, zm. 26 października 1983 w Berkeley, Kalifornia, USA) - polski matematyk pochodzenia żydowskiego, jeden z najwybitniejszych logików wszech czasów....
[click for more] nie zakończyły dyskusji na ten temat. Warto pamiętać, że dowód twierdzenia Gödla polega na pokazaniu zdania prawdziwego, które jest niedowodliwe na gruncie arytmetyki Peano, zatem dowodliwość nie może być przyjęta za kryterium prawdziwosci). Brak odpowiedzi na zagadnienia związane z olbrzymim sukcesem matematyki w zastosowaniach w naukach przyrodniczych; jakie jest źródło owego sukcesu? Lista pytań pozostaje otwarta i nadal toczy się dyskusja na tematy związane z metamatematykąMetamatematyka – "matematyka" zastosowana do badania matematyki. Wyodrębniła się na przełomie XIX i XX wieku jako dział badań nad podstawami matematyki. Zajmowała się analizą budowy i własności teorii matematycznych (np. niesprzeczność, rozstrzygalność, modele, interpretacje jednej teorii w drugiej)....
[click for more] i filozofią matematyki.

Podobnie nie jest jasne w ramach jakiego procesu ludzie tworzą matematykę. Czy proces ten ma charakter niczym nieskrępowanej twórczości, czy może jest to tylko odkrywanie pewnej obiektywnej rzeczywistości? Można zaryzykować twierdzenie, że chociaż dla pracy matematyka nad konkretnym problemem zwykle nie mają znaczenia odpowiedzi, to jednak nie jest to prawda absoluta, to znaczy, że istnieją takie problemy, na które odpowiedź właśnie zależy od tego czy ktoś uważa że matematykę się tworzy lub że się ją odkrywa.

Poglądy na matematykę

Współczesne poglądy na istotę matematyki są pochodną długiej historycznie dyskusji, w której prezentowano rozmaite stanowiska na to, czym jest matematyka.

Historyczne poglądy na matematykę

PlatonPlaton (427-347 p.n.e.) powszechnie uznawany jest za jednego z najwybitniejszych filozofów starożytności. Był twórcą systemu filozoficznego zwanego obecnie idealizmem platońskim. Zaciekle zwalczany przez jednych, broniony przez innych, system Platona w ten czy inny sposób obecny jest stale w europejskiej tradycji filozoficznej. Uważa się, że to od Platona zaczyna się właściwa filozofia europejska, rozumiana jako systematyczna nauka, a nie przypadkowe spekulacje....
[click for more] widział w matematyce sposób na obiektywne poznawanie realnie istniejącego świata idei niepoznawalnych innymi metodami aniżeli za pomocą rozumu. ArystotelesArystoteles, 'Αριστοτέλης, Aristotelēs (384 – 322 p.n.e.) – jeden z dwóch, obok Platona największych filozofów greckich. Stworzył opozycyjny do platonizmu i równie spójny idealistyczny system filozoficzny, który bardzo silnie oddziałał na filozofię i naukę europejską, a jego chrześcijańska odmiana zwana tomizmem była od XIII wieku i jest po dziś dzień oficjalną filozofią Kościoła Katolickiego....
[click for more] uważał, że matematyka to zajęcie, w którym bada się relacje pomiędzy określonymi obiektami, i w której istnienie jest przypisywane owym relacjom, a nie samym obiektom. Wielu matematyków, fizyków i filozofów widziało w matematyce wiedzę praktyczną, system ścisłego wnioskowania, działalność rozumu pozwalającą dedukować prawdy absolutne w sensie obiektywnym, lub prawdy absolutne w sensie prawd dostępnych ludzkiemu poznaniu. Szczególnie burzliwym okresem badań nad podstawami matematyki był koniec wieku XIX i początek wieku XX aż do lat 30., kiedy badania prowadzili tacy uczeni jak Leopold KroneckerLeopold Kronecker (ur. 7 grudnia 1823 r. - zm. 29 grudnia 1891 r.) - niemiecki matematyk i logik....
[click for more] i Luitzen Brouwer - zwolennicy konstruktywizmu, Georg CantorGeorg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (ur. 3 marca 1845 r. w Sankt Petersburgu - zm. 6 czerwca 1918 r. w sanatorium w Halle) - niemiecki matematyk....
[click for more] - twórca teorii mnogości zwalczany przez Kroneckera, Richard DedekindJulius Wilhelm Richard Dedekind (6 października 1831 - 12 lutego, 1916 to matematyk niemiecki. Urodzony w Brunszwiku. Był uczniem Dirichleta i Gaussa. Od 1862 r. przez ponad 50 lat był profesorem w Collegium Carolinum (późniejszej Wyższej Szkole Technicznej) w Brunszwiku. Blisko pzyjaźnił się z Cantorem i jako jeden z pierwszych docenił wartość jego prac teoriomnogosciowych.Jego prace dotyczą teorii liczb, algebry, teorii mnogości i analizy matematycznej. Wprowadził do matematyki wiele nowych...
[click for more] - twórca spójnej konstrukcji liczb rzeczywistych, Bertrand RussellBertrand Russell (18 maja 1872 - 2 lutego 1970) logik, matematyk, filozof, myśliciel, działacz społeczny i eseista angielski. Laureat Nagrody Nobla w dziedzinie literatury za rok 1950....
[click for more] i Alfred Whitehead - przedstawiciele logicyzmuLogicyzm to kierunek w filozofii matematyki, zakładajacy, że można oprzeć jej podstawy na bazie rachunku logicznego zdań (porównaj logika). W szczególności sprowadza to matematykę jako naukę do szczególnego rodzaju formalnej teorii logicznej implementującej pewien zestaw aksjomatów i wyprowadzającej z nich wnioski w oparciu o pewien zespół definicji (porównaj: formalizm (matematyka))....
[click for more], David HilbertDavid Hilbert (23 stycznia 1862 - 14 lutego 1943) - matematyk niemiecki; zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej....
[click for more] - twórca i inicjator programu oparcia matematyki na ścisłych i pozwalających na analizę podstawach (początek formalizmowi) oraz wreszcie Alonzo ChurchAlonso Church - (ur. 14 czerwca 1903 r. w Waszyngtonie, zm. 11 sierpnia 1995 r. w Hudson w stanie Ohio w USA. Amerykański logik i matematyk....
[click for more], Post i Kurt Gödel, który wykazał, że formalizm jest koncepcją niemożliwą do realizacji w konstruktywny sposób. Nowe możliwości badania podstaw matematyki otwarły się wobec rozwinięcia przez wspomnianych matematyków teorii dowoduTeoria dowodu to dział logiki matematycznej zajmujący się analizą pojęcia dowodu oraz możliwych sposobów używania go w rozważaniach matematycznych. Za ojca tej dziedziny uważa się Davida Hilberta, jednego z najwybitniejszych matematyków przełomu dziewiętnastego i dwudziestego wieku....
[click for more] oraz stworzenie przez Alfreda Tarskiego teorii modeliTeoria modeli (nazywana też czasem semantyką logiczną) to dział logiki matematycznej zajmujący się badaniem własności modeli teorii aksjomatycznych i zależności między nimi. Dziedzina ta jest w znacznym stopniu powiązana z algebrą i teorią mnogości, ale ma też mocno rozbudowany własny aparat pojęciowy i w swojej współczesnej postaci jest w pełni samodzielną dziedziną wiedzy....
[click for more] zajmującej się rozmaitymi realizacjami danego zboru aksjomatów i związków między nimi. Następne lata, a zwłaszcza druga połowa XX wieku, wprowadziły do arsenału filozofii matematyki koncepcje antropologiczne, postulujące związek matematyki z kulturą i socjologią, koncepcje quasiempiryczne, zakładające, że wiedza matematyczna jest swego rodzaju uogólnieniem wiedzy powszechnie dostępnej, ale jednak opartej na rzeczywistym empirycznym doświadczeniu itp. Swoje prace publikowali wówczas tacy filozofowie matematyki jak Lakatos, Quine, Putnam i inni.

Współczesne poglądy na matematykę

W filozofii matematyki dominują trzy główne poglądy: formalizm, logicyzm i intuicjonizm.

Formalizm

Zgodnie z założeniami najpopularniejszego prądu w filozofii matematyki, formalizmu, przedmiotem badań matematyki są teorie, które przyjmują do swych rozważań:

pewien zespół pojęć pierwotnych (niedefiniowanych na wstępie - takich jak na przykład pojęcie zbioru w teorii mnogości czy punktu w geometrii)
jakiś układ prawd o tych przedmiotach (czyli aksjomatówAksjomat to dowolna wypowiedź o pojęciu pierwotnym teorii sformalizowanej. Wypowiedź ta z formalnego punktu widzenia nie musi być "oczywiście prawdziwa", nie musi też odbijać jakiejkolwiek "rzeczywistości". Krótko mówiąc, jest to całkowicie dowolne zdanie - byle niesprzeczne wewnętrznie i poprawnie zbudowane (to znaczy zgodnie z regułami gramatyki obowiązującej w danej teorii)....
[click for more])
wreszcie jakiś zestaw reguł wnioskowania

Zwróćmy uwagę, że według niektórych formalistów (nie wszystkich, np. Hilbert, twórca formalizmu, był innego zdania) aksjomat, to zupełnie dowolne zdanie, które nie musi w szczególności być ani oczywiście prawdziwe, ani w ogóle mieć cokolwiek wspólnego z jakąkolwiek rzeczywistością, w szczególności fizyczną (zastosowaniem matematyki do rzeczywistości zajmuje się głównie fizyka matematycznaDziedzina leżąca na pograniczu fizyki i matematyki, niekiedy uważana za fragment fizyki teoretycznej, zajmująca się rozwijaniem działów matematyki wykorzystywanych w fizyce oraz badaniem matematycznej struktury teorii i hipotez fizycznych (zwłaszcza tych bardzo zmatematyzowanych - m.in. ogólnej teorii względności, teorii wielkiej unifikacji, teorii strun)....
[click for more]). Podobnie zestaw reguł wnioskowania w logice matematycznejLogika to dział filozofii i jednocześnie matematyki zajmujący się analizą elementarnych zasad poprawnego rozumowania. Logika (zarówno matematyczna, jak i filozoficzna) nie analizuje zawartości merytorycznej badanych zdań, lecz tylko bada czy są one poprawnie skonstruowane z czysto formalnego punktu widzenia....
[click for more] nie musi mieć nic wspólnego z klasyczną logikąLogika to dział filozofii i jednocześnie matematyki zajmujący się analizą elementarnych zasad poprawnego rozumowania. Logika (zarówno matematyczna, jak i filozoficzna) nie analizuje zawartości merytorycznej badanych zdań, lecz tylko bada czy są one poprawnie skonstruowane z czysto formalnego punktu widzenia....
[click for more]. Jednak w celu zapewnienia niesprzecznosci teorii (co oczywiście nie jest zadnym ścisłym wymogiem: w formaliźmie można sobie badać i rozwijać teorie sprzeczne, skoro aksjomaty są dowolne) musimy jakoś zapewnić niesprzecznosć aksjomatów. Aby dojść do tego celu wystarczy zrozumieć ich znaczenie a pośrednio być przekonanym o ich prawdziwości. Jak bowiem wykazał Tarski, zbiór zdań prawdziwych stanowi system zupełny. Warto jednak pamiętać, że formalizm nie neguje użyteczności pewnych zbiorów aksjomatów w stosunku do innych, uznając, że pewne obiekty i operacje na nich są bliższe ludzkiemu rozumowi niż inne. W tym sensie np. arytmetyka liczb naturalnych określona według aksjomatyki Peano może być realizowana w wielu różnych i nieizomorficznych modelach, jednak jej model podstawowy obejmujący znane dobrze liczby naturalne jest uprzywilejowany i bliższy naturalnemu rozumieniu pojęć, które aksjomatyka Peano definiuje.

Logicyzm

Zgodnie z założeniami logicyzmu matematyka jest nauką pochodną od logiki zaś jej wszystkie twierdzenia są wyprowadzalne z ogólnych praw logiki. Tym samym konstrukcje matematyki wynikają z ogólnych i znanych zasad dedukcji zaś obiekty o których mówią, czyli liczby, figury geometryczne i bardziej skomplikowane struktury, są swego rodzaju wytworami umysłu, pojęciami dostępnymi poznaniu dzięki prawom logiki oraz bezpośredniemu wglądowi. Logicyzm nie wypowiada się na temat ich charakteru ontologicznego.

Intuicjonizm

Zgodnie z intuicjonizmem matematyka zajmuje się obiektami istniejącymi obiektywnie jako idee (realizm) lub będącymi abstrakcyjnymi wytworami umysłu dostępnymi pełnemu poznaniu, konstruowanymi w sposób efektywny i skończony. Kluczowe w tym poglądzie jest to, że obiekty, które rozważa matematyka, powinny być dostępne poznaniu ludzkiemu, dać się objąć intuicją, poznaniu przez wgląd, stąd zanegowanie użycia przez matematykę nieskończoności aktualnej, a nawet nieskończoności potencjalnej (Kronecker). Intuicjonizm i jego poglądy na matematykę rozwijają się głównie jako sprzeciw wobec stosowaniu w matematyce nieefektywnych metod konstrukcji i dowodu, postulując oparcie podstaw matematyki na bazie finitystycznej. Podstawowe jego prądy to finityzm i konstruktywizm...
[click for more].

Rozmaitość innych poglądów

Inne obecne poglądy na matematykę są zwykle związane z wymienionymi powyżej, lub mają swe korzenie w wielu historycznych poglądach znanych matematyków i filozofów.

Istotą platonizmu matematycznego jest uznanie, iż byty matematyczne (np. trójkąt, liczba Pi, nieskończoność, zbiór liczb naturalnych) istnieją niezależnie od nas, tj. od ludzi nimi się zajmujących. Tym samym matematyk, pracujący z bytami matematycznymi, dokonuje odkryć a nie tworzy. Warto zwrócić uwagę, że nazwa platonizm kojarzona jest zwykle z nazwą idealizm, zaś skoro idee według tego poglądu istnieją obiektywnie, należałoby mówić o realizmie.Konstruktywizm jest doktryną intuicjonistyczną, zgodnie z którą dany byt matematyczny uznaje się za dobrze zdefiniowany (czyli uznaje się jego istnienie i umawia się, że warto się nim zajmować) dopiero wtedy, gdy podany zostanie skończony algorytm jego konstrukcji. Konstruktywiści uznają tylko byty spełniające te wymagania. Tak np. zbiór liczb rzeczywistych można skonstruować ze zbioru liczb naturalnych, jednak dla konstruktywisty postępowanie takie jest na ogół nie do przyjęcia, gdyż prowadzi do obiektów takich jak liczby, których rozwinięcie dziesiętne zawiera cyfry, które nie są możliwe do wyliczenia za pomocą żadnej skończonej procedury. Konstruktywizm proponuje wyjście z takiego stanu rzeczy przez rozważanie wyłącznie tych liczb, których rozwinięcia dziesiętne są obliczalne. Formalizm matematyczny w skrajnej postaci neguje obiektywne istnienie jakichkolwiek bytów matematycznych; w myśl bowiem tej filozofii mniej istotne jest to, czy byty te istnieją obiektywnie - liczą się reguły postępowania z nimi. Matematyka jako taka jest zatem postrzegana jako zbiór reguł i zasad, w myśl których matematycy postępują. Przedmioty postępowań (byty i twory matematyczne) nie są same w sobie tak istotne, jak sposoby działania na nich. Tym samym jest to bliski pogląd do arystotelejskiej koncepcji matematyki, w ramach którego kompletnie bez znaczenia staje się treść twierdzeń matematycznych (semantyka), a jedyne znaczenie przypisuje się wyłącznie mechanicznym operacjom na symbolach (syntaktyce). Znaczący cios takim poglądom zadał Gödel, który udowodnił, że matematyka nie ma zamkniętego charakteru, a więc jej uprawianie zawsze wymaga znajomości treści czy znaczenia wypowiadanych treści, gdyż inaczej nie jest możliwe przeprowadzanie dowodów matematycznych pewnych prawd. Mimo to, współcześnie formalizm jest najpopularniejszym prądem metamatematycznym. Głównie z uwagi na to, że jest programem konstruktywnym, posiadającym jasną i dobrze ugruntowaną metodologię, pozwalającą organizować dostępną wiedzę matematyczną oraz, co nie jest obojętne, przedstawia tę wiedzę w sposób ułatwiający jej przekaz. Warto jednak pamiętać, że matematyka uprawiana przez matematyków zwykle daleka jest od metod formalistycznych, których używa się do przedstawiania znanych i dobrze ugruntowanych teorii, w szczególnośc do pisania podręczników, a nie do tworzenia nowych twierdzeń czy prawd matematycznych.

Niektórzy uważają, że matematyka bliższa jest w swojej konstrukcji sztuce niż naukom przyrodniczym i widzą w niej spontaniczną realizację intelektu i rozumu.

Niesprzeczność

Podstawowym wymaganiem, jakie stawia się teoriom matematyki, jest niesprzeczność. Dzięki pracom takich matematyków jak Hilbert, Gödel, Alan TuringAlan Mathison Turing (ur. 23 czerwca 1912 w Londynie - zm. 7 czerwca 1954 w Wilmslow) - angielski matematyk, twórca maszyny Turinga i jeden z twórców informatyki....
[click for more], Church, Post, Tarski i wielu innych wiemy obecnie, że jest to także najostrzejsze wymaganie, jakie można im stawiać. Historycznie wcześniejszy pogląd, jakoby można dodatkowo od teorii zażądać zupełności, to znaczy, możliwości dowiedzenia wszystkich twierdzeń w ramach raz ustalonej bazy wiedzy, okazał się nieprawdziwy. W latach 30. XX wieku Kurt Gödel dowiódł dwa ważne twierdzenia zwane współcześnie jego imieniem. Wnioski z nich stwierdzają, że albo teoria aksjomatyczna zawierająca w sobie arytmetykę liczb naturalnych jest niesprzeczna albo zupełna, nigdy zaś nie ma obydwu tych własności jednocześnie. Tym samym, jeśli uznamy, że w ramach dowodzenia twierdzeń i ich wyrażania posługujemy się pewnym z góry ustalonym i statycznym zespołem reguł, to niemożliwe jest dowiedzenie wszystkich zdań wyrażalnych w takim systemie. W szczególnosci Gödel dowodząc swoje twierdzenia podał konstruktywny przykład zdań, twierdzeń, które nie mogą zostać dowiedzione na gruncie arytmetyki liczb naturalnych, choć wyrażają pewną prawdę o liczbach naturalnych środkami dopuszczalnymi w ramach aksjomatyki Peano.

Sytuacja taka z początku wydawała się być oceniana przez wielu jako ograniczenie matematyki: oto wiedza matematyczna nie pozwala odpowiedzieć na wszystkie pytania jakie można w matematyce zadać. Rychło jednak głębsze zrozumienie znaczenia twierdzeń Gödela doprowadziło do spostrzeżenia, że stan ten odnosi się do założenia, że matematyk posługuje się z góry określonym zestawem metod dowodzenia. Tym samym utracona została nie tyle zdolność matematyki do dowodzenia prawdy matematycznej, co raczej wykazana została niezdolność finitystycznych systemów formalnych do jej wyrażania. Między innymi dlatego, pomimo dowiedzenia twierdzeń Gödla i Tarskiego (o niewyrażalności prawdy w systemie finitystycznym), matematyka ma się świetnie, powstają nowe twierdzenia i w zasadzie nie dostrzega się żadnych objawów kryzysu pojęciowego związanego z opisanymi ograniczeniami. Warto także pamiętać, że zbiór zdań prawdziwych dowolnej teorii (który nie jest tożsamy ze zbiorem twierdzeń tej teorii) jest zbiorem zupełnym. Twierdzenie Gödela wskazuje bowiem na przypadłośc pewnej metody dowodzenia twierdzeń, mianowicie metody formalnej, nie zaś na wadę teorii jako takiej, rozumianej jako możliwość wypowiadania się o pewnych bytach abstrakcyjnych. Za przykład unaoczniający tą różnicę można podać twierdzenia, których nie daje się dowieść na gruncie arytmetyki choć mają czysto kombinatoryczą treść (zliczanie grafów w ramach teorii Ramseya), a które jednak można dowodzić posługując się teorią mnogości. Widać jasno, że powodem niedowiedlności tego zdania jest nie tyle jego treść, a więc jakaś zasadnicza niemożliwość wykonania dowodu, jak w wypadku antynomii kłamcy, lecz po prostu brak odpowiednich narzędzi w ramach arytmetyki liczb naturalnych.

Teoria mnogości i jej rola we współczesnej matematyce

Proces definiowania czym jest wiedza matematyczna oraz rozmaite problemy wynikające z braku zadowalającej i ścisłej definicji czym są obiekty matematyczne, oraz w jaki sposób realizowane jest ich istnienie, doprowadziły do intensywnych poszukiwań zadowalających podstaw matematyki. Rolę takich podstawowych teorii, do których sprowadzona miałaby zostać cała matematyka, historycznie pełniło wiele dziedzin związanych z matematyką lub jej działów. Istniały próby sprowadzenia matematyki do teorii typów, w wyniku czego miałaby ona stać się działem logiki. Podobne próby były związane z teorią liczb naturalnych w ramach prądów finitystycznych. Współczesna matematyka od lat 60.Lata : 1960, 1961, 1962, 1963, 1964, 1965, 1966, 1967, 1968, 1969...
[click for more] XX wiekuXIX wiek XX wiek XXI wiek Lata 1900-1909 Lata 1910-1919 Lata 20. Lata 30. Lata 40. Lata 50. Lata 60. Lata 70. Lata 80. Lata 90....
[click for more] opiera swoje podstawy na teorii mnogości zaksjomatyzowanej przez Zermelo i Fraenkela. Rozważane były także inne aksjomatyzacje tej teorii, żadna jednak nie uzyskała takiej popularności jak aksjomatyka Zermelo-Fraenkela teorii mnogości. Można zatem powiedzieć, że teoria ta spełnia współcześnie wyróżnioną rolę w matematyce, stanowiąc podstawową teorię aksjomatyczną oraz język w sensie terminologicznym współczesnej matematyki.

Centralnym pojęciem staje się tu pierwotne pojęcie zbioru, należenia do zbioru oraz relacji. Wprowadza się aksjomaty formalizując podstawowe własności takich obiektów jak aksjomat wyróżniania itp. Rekonstrukcja matematyki polega na stopniowym definiowaniu coraz bardziej złożonych pojęć jak funkcja, klasa abstrakcji, liczba naturalna, liczba rzeczywista.

Główne działy matematyki

teoria mnogości
teoria kategoriiTeoria kategorii to dział matematyki, który bada struktury matematyczne i związki między nimi. // ...
[click for more]
algebraAlgebra to jeden z najstarszych działów matematyki, który powstał w starożytności. Słowo algebra pochodzi z tytułu dzieła uczonego arabskiego Alchwarizmiego (IX wiek) Hisab al-dżabr wa'l-mukabala (O odtwarzaniu i przeciwstawianiu) i dotyczy przenoszenia wyrazów o współczynnikach ujemnych z jednej strony równania na drugą oraz skracania równań stronami. Początkowo, jak wskazuje pochodzenie jej nazwy, algebra zajmowała się rozwiązywaniem równań pierwszego i drugiego stopnia o współczy...
[click for more]
teoria liczbTeoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczb - początkowo tylko naturalnych. Obecnie należałoby powiedzieć: głównie naturalnych. Jej początki sięgają starożytności. Zajmowali się nią Pitagoras, Euklides, Eratostenes, Diofantos i wielu innych. Bujny rozwój teorii liczb datuje się mniej więcej od czasów działalności Pierre'a Fermata (1601-1665), autora słynnego Wielkiego Twierdzenia Fermata. Ogromny wkład w rozwój teorii liczb miał słynny Carl Fr...
[click for more]
geometria
- topologia1. Topologia to dział matematyki zajmujący się badaniem własności przestrzeni topologicznych oraz ich przekształceń. 2. Topologia to rodzina wyróżnionych podzbiorów (nazywanych dalej zbiorami otwartymi) danego zbioru (zwanego dalej przestrzenią), która spełnia następujące warunki:...
  [click for more]
analiza matematycznaAnaliza matematyczna to zespół teorii obejmujący wiele ważnych działów matematyki. Początkowo analiza matematyczna obejmowała jedynie to, co dzisiaj nazywamy rachunkiem różniczkowym i całkowym. Jej rozwój zainicjowały prace Leibniza i Newtona z początku XVII wieku....
[click for more]
matematyka dyskretnaMatematyka dyskretna to zbiorcza nazwa wszystkich działów matematyki, które zajmują się badaniem struktur nieciągłych, to znaczy zawierających zbiory co najwyżej przeliczalne (czyli właśnie dyskretne). Niektóre z tych działów to: algebra liniowa kombinatoryka kryptografia logika programowanie liniowe teoria gier teoria grafów teoria informacji teoria liczb teoria matroidów. Zobacz też: przegląd zagadnień z zakresu matematyki...
[click for more]
- kombinatorykaKombinatoryka to teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa, teorii grafów, teorii informacji i innym działom matematyki stosowanej. Stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej....
  [click for more]
- teoria grafów
inne
- matematyka stosowana
- statystyka matematycznaStatystyka matematyczna to dział statystyki, używający teorii prawdopodobieństwa i innych działów matematyki do rozwijania statystyki z czysto matematycznego punktu widzenia. I tak na przykład próba losowa jest rozpatrywana jako ciąg zmiennych losowych,...
  [click for more]
- matematyka rekreacyjna

Czasami do działów matematyki zalicza się także logikę.

Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki
Kategoria:Matematycy...
[click for more]
lista symboli matematycznych

Linki zewnętrzne

Textbooks in Mathematics (http://www.geocities.com/alex_stef/mylist.html) - podręczniki i notatki z wykładów z różnych działów matematyki
Kolekcja matematyczno-fizyczna (http://matwbn.icm.edu.pl/) - zbiór monografii matematycznych autorstwa najwybitniejszych polskich matematyków
MathWorld (http://mathworld.wolfram.com/) - kompedium matematyki (ang.)

Kategorie stron: Matematyka...
[click for more]