Definicja Algebra zbiorów (Szukaj)

Ciało zbiorów to rodzina zbiorów A spełniająca następujące warunki:

1. zbiór pusty należy do A
2. dopełnienie zbioru należącego do A należy do A
3. suma...
   [click for more] dwóch (a więc i skończenie wielu) zbiorów należących do A należy do A.

Bardzo często rozważa się ciała zbiorów z dodatkowym warunkiem:

4. suma przeliczalnie wielu zbiorów z A należy do A.

Mówimy wtedy o σ-ciele (czytaj: sigma-ciele).

Z warunków 2 i 3 wynika, że różnica dwóch zbiorów z A należy do A. Podobnie, część wspólna skończenie wielu zbiorów z A należy do A (w przypadku σ-ciała część wspólna przeliczalnie wielu zbiorów).

Czasem zamiast ciało (σ-ciało) zbiorów używa się terminu algebra zbiorów (odpowiednio σ-algebra).

Przykłady i własności

1. Rodzina wszystkich podzbiorów dowolnego zbioru jest ciałem zbiorów (a nawet σ-ciałem).
2. Rodzina podzbiorów danego zbioru X złożona ze zbioru pustego i zbioru X jest ciałem zbiorów.
3. Dla danego podzbioru A zbioru X rodzina utworzona ze zbioru pustego, zbioru X, zbioru A i jego dopełnienia A′ jest ciałem zbiorów.
4. Przekrój dowolnej rodziny ciał zbiorów (σ-ciał) jest znów ciałem zbiorów (σ-ciałem).
5. Dla dowolnej rodziny zbiorów A istnieje najmniejsze ciało (σ-ciało) zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywamy je ciałem (σ-ciałem) generowanym przez tę rodzinę.

Zastosowania

σciała zbiorów są podstawowym przedmiotem badań w teorii miaryTeoria miary - dziedzina matematyki zajmująca się bardzo szeroko pojętymi własnościami miary. W teorii miary rozważa się: miarę zbiorów punktów przestrzeni euklidesowej miarę zbiorów będących zdarzeniami losowymi Dziedzina ta, zwana również "teorią miary i całki" powstała w 1902 roku. Miała ogromny wpływ na rozwój analizy matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa....
[click for more], rachunku prawdopodobieństwa i topologii1. Topologia to dział matematyki zajmujący się badaniem własności przestrzeni topologicznych oraz ich przekształceń. 2. Topologia to rodzina wyróżnionych podzbiorów (nazywanych dalej zbiorami otwartymi) danego zbioru (zwanego dalej przestrzenią), która spełnia następujące warunki:...
[click for more].

Zobacz też:

• algebra Boole'a
• zbiór borelowski
• miara
• teoria miary
• teoria prawdopodobieństwa.

Tresc udostepniana na licencji 'GNU Free Documentation License'.

Cache: OK - (Cache Hit) | Exec Czas: 0.054 | INTLinks: 19

Contakt: info AT definicja DOT com