Definicja Algebra ogólna

Algebry ogólne to obiekty matematyczneMatematyka była niegdyś rozumiana jako nauka o liczbach (arytmetyka) i figurach (bryłach) geometrycznych (geometria). Do dziś w popularnych encyklopediach określana jest jako nauka o wielkościach, czyli o stosunkach ilościowych i formach przestrzennych. Z biegiem czasu dodano również do obszaru zainteresowań matematyki wszystko, co wiąże się z pojęciem granicy....
[click for more], które są przedmiotem badań algebry uniwersalnej Algebra uniwersalna to dział matematyki zajmujący się badaniem ogólnych struktur algebraicznych. Algebra uniwersalna wraz z teorią kategorii stanowią matematyczne podstawy teorii specyfikacji algebraicznych. Zobacz też: przegląd zagadnień z zakresu matematyki...
[click for more]. Tę ostatnią zresztą też nazywa się czasami algebrą ogólną. Natomiast algebry ogólne określa się także mianem algebr abstrakcyjnych lub po prostu algebr.

Definicja

Algebra ogólna A to struktura matematycznaStruktura matematyczna jest pewnym przybliżeniem rzeczywistości matematycznej. Często można się spotkać z innymi określeniami struktury matematycznej, na przykład takimi jak model, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu. Na strukturę matematyczną M składają się uniwersum (czyli pewna klasa) oraz interpretacja symboli pewnego języka L, w którego skład mogą (lecz nie muszą) wchodzić funkcje, relacje i stałe (interpretacje stałych w modelu to elementy wyróżnione). Dlat...
[click for more], na którą składa się dowolny zbiór A zwany nośnikiem lub uniwersum oraz skończona liczba operacji f(1),...,f(n) określonych w zbiorze A (często rozważa się algebry o nieskończenie wielu operacjach). Piszemy A = <A, f(1),...,f(n)>, gdy chcemy wyszczególnić, z jakiego nośnika i z jakich operacji składa się algebra A. Przy tym przez operację określoną w zbiorze A rozumiemy dowolną funkcję przekształcającą pewną potęgę kartezjańską zbioru A w zbiór A. Dla każdego i=1, ..., n mamy więc f(i) : A^a(i) → A, gdzie a(i) jest pewną liczbą całkowitą nieujemną nazywaną arnością operacji f(i). Operację f(i) nazywamy w takiej sytuacji a(i)-arną lub a(i)-argumentową. Operacja 0-argumentowa to element wyróżniony algebry A (elementy wyróżnione nazywa się też stałymi). Ciąg liczb (a(1), ..., a(n)) nazywamy typem tej algebry.

Operacje danej algebry nazywamy też działaniami.

Przykłady

Jako przykłady algebr ogólnych mogą służyć wszystkie podstawowe obiekty rozważań algebraicznych, zaś wśród nich między innymi grupy, pierścienie, ciała i moduły.

Jedną z najbardziej spopularyzowanych algebr ogólnych jest algebra A=<Z, +, -, 0>, gdzie Z oznacza zbiór liczb całkowitych, + jest zwykłym dodawaniem liczb całkowitych (a więc operacją dwuargumentową), - oznacza jednoargumentową operację brania elementu przeciwnego, natomiast 0 jest elementem wyróżnionym, czyli operacją 0-arną. Typem algebry A jest w tym przypadku ciąg (2, 1, 0). Algebra A jest jednym z podstawowych przykładów grupy abelowejGrupa abelowa to grupa, której działanie jest przemienne. Nazwa "abelowa" pochodzi od nazwiska Nielsa Abela, norweskiego matematyka, w którego pracach implicite pojawia się to pojęcie....
[click for more].

Zobacz też: izomorfizm, homomorfizm, przegląd zagadnień z zakresu matematyki

Kategorie stron: Algebra