Definicja Algebra boole'a (Szukaj)

Algebra Boole'a jest to struktura matematyczna złożona z uniwersumUniwersum to pochodzące z łaciny określenie równoznaczne ze słowem wszechświat. W matematyce uniwersum danego modelu to klasa wszystkich jego elementów. Na przykład uniwersum modelu teorii mnogości stanowią wszystkie zbiory....
[click for more] X, trzech funkcji: działań binarnych +, * i działania unarnego ~ oraz wyróżnionych elementów 0, 1 spełniających następujące aksjomatyAksjomat to dowolna wypowiedź o pojęciu pierwotnym teorii sformalizowanej. Wypowiedź ta z formalnego punktu widzenia nie musi być "oczywiście prawdziwa", nie musi też odbijać jakiejkolwiek "rzeczywistości". Krótko mówiąc, jest to całkowicie dowolne zdanie - byle niesprzeczne wewnętrznie i poprawnie zbudowane (to znaczy zgodnie z regułami gramatyki obowiązującej w danej teorii)....
[click for more]:

• zarówno + jak i * są łączne i przemienne:
  • x + y = y + x
  • x * y = y * x
  • (x + y) + z = x + (y + z)
  • (x * y) * z = x * (y * z)
• 0 jest elementem neutralnym dla +: x + 0 = x
• 1 jest elementem neutralnym dla *: x * 1 = x
• x + (~x) = 1
• x * (~x) = 0
• + i * są rozdzielne względem siebie:
  • x * (y + z) = (x * y) + (x * z)
  • x + (y * z) = (x + y) * (x + z)
• dwa działania ~ się znoszą: ~~x = x
• prawa de Morgana
  • ~(x * y) = (~x) + (~y)
  • ~(x + y) = (~x) * (~y)

Przykłady algebr Boole'a

1. Algebra zbiorów. X jest w tym przypadku jakimś ciałem zbiorów. Działanie + jest to suma zbiorów, * - przekrój zbiorów, a ~ - dopełnienie. 0 to zbiór pusty, a 1 - cały zbiór X.

2. Rachunek zdań. X to w tym przypadku zbiór formuł logicznych, działanie * to koniunkcja, + - alternatywa, zaś ~ - negacja. Wreszcie 1 to formuła zawsze prawdziwa, a 0 - zawsze fałszywa (tak naprawdę elementami X nie są same formuły logiczne, a klasy abstrakcji ze względu na relację: formuła f jest równoważna formule g, jeśli dla tych samych podstawień zmiennych ich wartość logiczna jest taka sama).

Minimalna aksjomatyzacja

Algebra Boole'a jest oczywiście "przedefiniowana" - 0 i 1 można zastąpić przez odpowiednio (x + (~x)) i ~(x + (~x)), zaś dzięki prawom de Morgana można wyeliminować * (w istocie wszystkie działania można tak naprawdę zastąpić jednym - kreską Scheffera). Standardowa jest jednak powyższa definicja i powyższa aksjomatyka - ze względu na wygodę i zgodność z intuicją.

Ważne jest pytanie: jaki jest minimalny zestaw aksjomatów definiujących algebry Boole'a ?

Przykładowy minimalny zestaw aksjomatów to:

• + jest przemienne
• + jest łączne
• aksjomat Huntingtona:

Inny taki zestaw to:

• + jest przemienne
• + jest łączne
• aksjomat Robbinsa:

Powyższe fakty zostały udowodnione przez system automatycznego dowodzenia twierdzeń (czyli przez komputer) po ponad 60 latach niepowodzeń matematyków.

Zobacz też:

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• funkcja boolowska
• George Boole.

Tresc udostepniana na licencji 'GNU Free Documentation License'.

Cache: OK - (Cache Hit) | Exec Czas: 0.058 | INTLinks: 25

Contakt: info AT definicja DOT com
Warning: mysql_fetch_row(): supplied argument is not a valid MySQL result resource in C:\wwwroots\definicja.com\index.php on line 244