Definicja Algebra Liego

Aby opisać grupę, często podaje się jedynie kilka jej elementów, z których można wyprowadzić wszystkie inne elementy za pomocą działania grupowego. Zbiór takich elementów nazywa się zbiorem generatorów. Istnieje pewne podobieństwo definicji zbioru generatorów do definicji baza przestrzeni wektorowej.

Jeżeli L jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową, w której zdefiniowane jest mnożenie generowane przez komutator ([A,B]=A B - B A),

$(A,B) \rightarrow [A,B]$

to nazywamy ją algebrą Liego, gdy spełnione sa warunki :

[αA+βB,C]=α[A,C]+ β[B,C] (liniowość)
[A,B]= -[B,A] (antysymetria)
[A,[B,C]]+[B,{C,A]]+[C,[A,B]]=0 (tożsamość Jacobiego)

Algebra Liego rozpięta jest n zbiorze liniowo niezależnych elementów (zbioru generatorów) $X = x i e i$ . Algebra ta zdefiniowana jest przez wszystkie możliwe komutatory generatorów

[e_i,e_j] =	∑	f_ijke_k.
	k

Współczynniki $f i j k$ nazywamy stałymi strukturalnymi. Jeżeli wszystkie komutatory są równe zero, to algebra (grupa) jest zwana abelowąGrupa abelowa to grupa, której działanie jest przemienne. Nazwa "abelowa" pochodzi od nazwiska Nielsa Abela, norweskiego matematyka, w którego pracach implicite pojawia się to pojęcie....
[click for more] (przemienną).

Przykład: przesunięcia w przestrzeni trójwymiarowej.

Zbiór generatorów ma trzy elementy: przesunięcie jednostkowe w kierunku osi Ox, Oy i Oz. Oznaczmy je przez X, Y, Z. Algebra Liego tej grupy to:

[X, Y] = [Y, Z] = [Z, X] = 0

Jest to grupa abelowa.

Przykład: obroty w przestrzeni trójwymiarowej.

Zbiór generatorów ma trzy elementy: obrót jednostkowy w prawo wokół osi Ox, Oy i Oz. Oznaczmy je przez $e 1$ , $e 2$ , $e 3$ . Algebra Liego tej grupy:

[e 1, e 2] = e 3

[e 2, e 3] = e 1

[e 3, e 1] = e 2

Stałe strukturale $f i, j, k = ε i, j, l$ okresłone są przez symbol Levi-Civity (1,-1 gdy jest to parzysta lub nieparzysta permutacja (1 2 3) lub 0 gdy któryś z wskaźników sie powtarza).

Jeżeli obrócimy układ o 90° w prawo wokół osi Ox, 90° w prawo wokół osi Oy, 90° w lewo wokół osi Ox, 90° w lewo wokół osi Oy, to nie wrócimy do punktu wyjścia. Układ będzie obrócony o 90° w lewo wokół osi Oz i 90° w lewo wokół osi Oy. Zatem nie jest to grupa abelowa.

Przykład: algebra su(2)

Zbiór bezśladowych macierzy 2x2 (Tr(X)=0) rozpięty jest na trzech macierzach Pauliego $σ i$ , które definiują (spin). Generatory algebry to:

$e_i=-\frac{1}{2}i \sigma_i$

Zobacz też: struktura algebraicznaStruktura matematyczna jest pewnym przybliżeniem rzeczywistości matematycznej. Często można się spotkać z innymi określeniami struktury matematycznej, na przykład takimi jak model, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu. Na strukturę matematyczną M składają się uniwersum (czyli pewna klasa) oraz interpretacja symboli pewnego języka L, w którego skład mogą (lecz nie muszą) wchodzić funkcje, relacje i stałe (interpretacje stałych w modelu to elementy wyróżnione). Dlat...
[click for more], podstawowe zagadnienia z zakresu matematyki...
[click for more].

Kategorie stron: Algebra...
[click for more]