Definicja Aksjomat

Aksjomat to dowolna wypowiedź o pojęciu pierwotnym teorii sformalizowanej. Wypowiedź ta z formalnego punktu widzenia nie musi być "oczywiście prawdziwa", nie musi też odbijać jakiejkolwiek "rzeczywistości". Krótko mówiąc, jest to całkowicie dowolne zdanie - byle niesprzeczne wewnętrznie i poprawnie zbudowane (to znaczy zgodnie z regułami gramatyki obowiązującej w danej teorii).

Warto pamiętać, że skoro nie żądamy od aksjomatu "oczywistej prawdziwości", dyskusyjne staje się określenie czy teoria jest niesprzeczna, a nade wszystko czy da się ją zredukować do prostszego zestawu aksjomatów. Na przykład zgodnie z wyżej zaprezentowaną definicją jako aksjomat moglibyśmy przyjąć Wielkie Twierdzenie Fermata lub Hipotezę Riemana. Oczywiście teoria zbudowana na takich aksjomatach posługiwałaby się bardzo sztucznym zestawem pojęć pierwotnych. Co gorsza, nie wiedząc czy twierdzenia te są prawdziwe, nie moglibyśmy dowieść niesprzeczności teorii, jako że ze zdania fałszywego można wydedukować każde inne zdanie. W istocie teoria taka byłaby nieinteresująca i efektywnie nierozwojowa. W ramach teorii systemów formalnych, rozwijanych zwłaszcza w kontekście informatyki i teorii obliczeń, możliwa jest oczywiście budowa takich systemów, w których aksjomaty mają nawet wymyślną postać, jednak w rzeczywistych teoriach matematycznych, a zwłaszcza w takich, które są interesujące z matematycznego punktu widzenia, to znaczy generują istotne, nietrywialne i ciekawe twierdzenia, aksjomaty zawsze są zdaniami oczywiście prawdziwymi i prostymi.

Pierwszym uczonym postulującym stosowanie aksjomatycznej budowy teorii matematycznych był PlatonPlaton (427-347 p.n.e.) powszechnie uznawany jest za jednego z najwybitniejszych filozofów starożytności. Był twórcą systemu filozoficznego zwanego obecnie idealizmem platońskim. Zaciekle zwalczany przez jednych, broniony przez innych, system Platona w ten czy inny sposób obecny jest stale w europejskiej tradycji filozoficznej. Uważa się, że to od Platona zaczyna się właściwa filozofia europejska, rozumiana jako systematyczna nauka, a nie przypadkowe spekulacje....
[click for more].

Inna nazwa aksjomatu to postulat, pewnik.

Zobacz też:

podstawowe zagadnienia z zakresu matematyki
aksjomat indukcjiAksjomat indukcji to aksjomat a właściwie nieskończony przeliczalny zbiór aksjomatów pierwszego rzędu, pozalogicznych rozważany zwłaszcza w teorii arytmetyki liczb naturalnych. Jest on formalizacją zasady indukcji matematycznej. Jego treść przedstawia się następująco: Gdzie oznacza: "dla każdego n" => to wynikanie (implikacja) ^ oznacza "i". Tak wyrażony aksjomat indukcji nie spełnia jednak założeń rozlicznych podejść, a w tym np. analizy Goedla niesprzeczności teorii matematycznyc...
[click for more] (w rzeczywistości jest to zbiór nieskończenie wielu aksjomatów arytmetyki, lub aksjomat metateorii arytmetyki)
aksjomat wyboruAksjomat wyboru (oznaczany AC) to jeden z aksjomatów teorii mnogości. Używa się różnych jego równoważnych sformułowań. Najczęściej spotykane jest następujące: dla każdej rodziny niepustych zbiorów rozłącznych istnieje zbiór, do którego należy dokładnie po jednym elemencie każdego ze zbiorów z tej rodziny (zbiór taki nazywany jest selektorem). Przykładem innego sformułowania aksjomatu wyboru jest:...
[click for more]
aksjomat ciągłości
aksjomaty teorii mnogości
aksjomat ArchimedesaAksjomat Archimedesa to aksjomat sformułowany przez Archimedesa. Według niego każdy odcinek jest krótszy od pewnej wielokrotności długości każdego innego odcinka. Z niego wynika nieograniczoność prostej....
[click for more]

Kategorie stron: Logika | FilozofiaFilozofia to dziedzina nauki zajmująca się badaniem poglądów, jakie człowiek wyrabia sobie odnośnie świata, który go otacza i miejsca, jakie sobie wyznacza w tym świecie. Opiera się w tych badaniach zarówno na przesłankach empirycznych, jak i pozaempirycznych. W sposób najprostszy, choć niedokładny, można powiedzieć, że przedmiotem filozofii jest wiedza, którą posiadamy na temat rzeczywistości, a nie sama rzeczywistość; nie jesteśmy bowiem w stanie określić, ile o niej wiemy. Zakre...
[click for more]